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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 9i

Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a

sqrt(x) sec x

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

(h (x) g (x))^' = h ' (x) g (x) + g ' (x) h (x)

Temos que:

h (x) = sqrt(x)

e

g (x) = sec x

Assim:

f^' (x) = h^' (x) g (x) + g^' (x) h (x) = (sqrt(x))^' * sec x + (sec x)^' * sqrt(x)

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio e da função trigonométrica:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(sec (x))^' = sec (x) * tg (x)

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

h ' ( x ) = (sqrt(x))^' = (x^((1)/(2)))^' = (1)/(2) x^((1)/(2) - 1) = (1)/(2) x^((1 - 2)/(2)) = (1)/(2) x^((- 1)/(2)) = (1)/(2 sqrt(x))

Com g ' ( x ) vamos usar a regra e da função trigonométrica:

g ' ( x ) = (sec x)^' = sec (x) tg (x)

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = h^' (x) g (x) + g^' (x) h (x) = (sqrt(x))^' * sec x + (sec x)^' * sqrt(x) = (1)/(2 sqrt(x)) * sec x + sec (x) tg (x) * sqrt(x) = (sec x)/(2 sqrt(x)) + sqrt(x) sec (x) tg (x)

Resposta

f^' (x) = (sec x)/(2 sqrt(x)) + sqrt(x) sec (x) tg (x)

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