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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 9p

Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a

(x + 1)/(x sen x)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

((h (x))/(g (x)))^' = (h^' (x) g (x) - h (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

h (x) = x + 1

e

g (x) = x sen x

Vamos agora só montar na fórmula:

f^' (x) = ((x + 1)/(x sen x))^' = ((x + 1)^' * (x sen x) - (x + 1) * (x sen x) ')/((x sen x)^2)

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da função trigonométrica:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

(sen (x))^' = cos (x)

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio e da função constante:

h^' (x) = (x + 1)^' = x^(1 - 1) + 0 = x^0 = 1

Já para calcular g^' (x) vamos usar a regra do produto:

(r (x) s (x))^' = r ' (x) s (x) + s ' (x) r (x)

Temos que:

r (x) = x

e

s (x) = sen x

Assim:

(x sen x) ' = r^' (x) s (x) + s^' (x) r (x) = (x)^' * sen x + (sen x)^' * x

Passo 4

Aqui nós vamos usar a regra do polinômio e da função trigonométrica:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(sen (x))^' = cos (x)

Passo 5

Vamos calcular r ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

r ' ( x ) = (x)^' = x^(1 - 1) = x^0 = 1

Com s ' ( x ) vamos usar a regra e da função trigonométrica:

s ' ( x ) = (sen x)^' = cos x

Passo 6

Agora é só substituir de volta na fórmula:

g^' (x) = (x sen x) ' = r^' (x) s (x) + s^' (x) r (x) = (x)^' * sen x + (sen x)^' * x = 1 * sen x + cos x * x = sen x + x cos x

Passo 7

Agora é só voltar na primeira fórmula e pronto:

f^' (x) = ((x + 1)/(x sen x))^' = ((x + 1)^' * (x sen x) - (x + 1) * (x sen x) ')/((x sen x)^2) = (1 * (x sen x) - (x + 1) * (sen x + x cos x))/(x^2 sen^2 x) = (x sen x - (x sen x + x^2 cos x + sen x + x cos x))/(x^2 sen^2 x) = (x sen x - x sen x - x^2 cos x - sen x - x cos x)/(x^2 sen^2 x) = (- x^2 cos x - sen x - x cos x)/(x^2 sen^2 x)

Resposta

f^' ( x ) = (- x^2 cos x - sen x - x cos x)/(x^2 sen^2 x)

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