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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 9n

Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a

x^2 + 3 x tg x

Passo 1

Vamos lá, temos aqui que a derivada da soma é a soma das derivadas:

f^' ( x ) = (x^2 + 3 x tg x) ' = (x^2) ' + ( 3 x tg x ) '

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da multiplicação por constante e da função trigonométrica:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(k f (x))^' = k f ' ( x )

(tg (x))^' = sec^2 (x)

Passo 3

Agora vamos usar a regra do polinômio para calcular a primeira derivada:

(x^2)^' = 2 x^(2 - 1) = 2 x

Passo 4

Agora na outra vamos usar a regra do produto:

(h (x) g (x))^' = h ' (x) g (x) + g ' (x) h (x)

Temos que:

h (x) = 3 x

e

g (x) = tg x

Assim:

( 3 x tg x ) ' = h ' (x) g (x) + g ' (x) h (x) = (3 x)^' (tg x) + (tg x)^' (3 x)

Passo 5

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio e da multiplicação por constante:

h ' ( x ) = (3 x)^' = 3 (x)^' = 3 x^(1 - 1) = 3 x^0 = 3 * 1 = 3

Com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g ' ( x ) = (tg x)^' = sec^2 (x)

Juntando:

( 3 x tg x ) ' = (3 x)^' (tg x) + (tg x)^' (3 x) = 3 (tg x) + sec^2 (x) (3 x) = 3 tg x + 3 x sec^2 (x)

Passo 6

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = (x^2) ' + ( 3 x tg x ) ' = 2 x + 3 tg x + 3 x sec^2 (x)

Resposta

f^' ( x ) = 2 x + 3 tg x + 3 x sec^2 (x)

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