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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.Revisão - Ex. 38

Ache o limite, se existir.

underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(1 - cos x)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (0)/(0) para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos multiplicar e dividir o limite pelo conjugado de (1 - cos x) .

underset(x -> 0)(lim) ((x^2)/(1 - cos x)) * ((1 + cos x)/(1 + cos x))

underset(x -> 0)(lim) ((x^2 ( 1 + cos x ))/(1^2 - cos^2 x))

Passo 2

Agora apliquemos a identidade fundamental da trigonometria no limite.

sin^2 x + cos^2 x = 1

sin^2 x = 1 - cos^2 x

underset(x -> 0)(lim) ((x^2 ( 1 + cos x ))/(sin^2 x))

Passo 3

Agora vamos aplicar a propriedade da multiplicação de limites e propriedade da potenciação de limites.

underset(x -> 0)(lim) ((x^2)/(sin^2 x)) * (underset(x -> 0)(lim) ( 1 + cos x ))

(underset(x -> 0)(lim) (x)/(sin x))^2 * (underset(x -> 0)(lim) ( 1 + cos x ))

Passo 4

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por (1)/(x) e aplicar a propriedade da divisão de limites.

(underset(x -> 0)(lim) (x)/(sin x) * ((1)/(x))/((1)/(x)))^2 * (underset(x -> 0)(lim) ( 1 + cos x ))

((underset(x -> 0)(lim) 1)/(underset(x -> 0)(lim) (sin x)/(x)))^2 * (underset(x -> 0)(lim) ( 1 + cos x ))

Passo 5

Por fim utilizaremos do limite fundamental underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u) = 1 .

((1)/(1))^2 * ( 1 + cos ( 0 ) )

1 * (1 + 1)

2

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(1 - cos x) = 2

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