Calcule o limite, se existir.

lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão quer que a gente calcule o seguinte limite:

lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h

Em outras palavras, temos que dizer se o limite existe (isto é, quando ele tende a um número real) ou não (quando diverge).

Assim, primeiro temos que ver se tem uma indeterminação no limite apenas substituindo direto o valor para o qual o h está tendendo.

Se tiver indeterminação, então devemos fazer algumas manipulações algébricas para tentar “jogar fora” a possível indeterminação.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Nosso limite é o seguinte:

L = lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h

A primeira coisa que podemos tentar é fazermos h = 0 , vamos ver o que acontece.

L = x 3 - x 3 0 = 0 0

Opaa, deu uma indeterminação!! Então vamos ter que dar uma mexida pra arrumar isso.

Passo 3

A ideia aqui vai ser abrir o termo x + h 3 e tentar tirar a indeterminação. Então vamos lá!

x + h 3 = x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3

Logo,

x + h 3 - x 3 h = x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 - x 3 h

Portanto,

x + h 3 - x 3 h = 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 h

Como h tendo a 0 , isto é, nunca é 0 ... então podemos simplificar!

x + h 3 - x 3 h = 3 x 2 + 3 x h + h 2

Passo 4

Agora vamos ver como ficam as coisas lá no limite

L = lim h → 0 ⁡ 3 x 2 + 3 x h + h 2

Para h = 0 :

L = 3 x 2 + 3 x ⋅ 0 + 0 2 = 3 x 2

Resposta

lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h = 3 x 2

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