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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.3 - Ex. 31

Calcule o limite, se existir.

underset(h -> 0)(lim) ((x + h)^3 - x^3)/(h)

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão quer que a gente calcule o seguinte limite:

underset(h -> 0)(lim) ((x + h)^3 - x^3)/(h)

Em outras palavras, temos que dizer se o limite existe (isto é, quando ele tende a um número real) ou não (quando diverge).

Assim, primeiro temos que ver se tem uma indeterminação no limite apenas substituindo direto o valor para o qual o h está tendendo.

Se tiver indeterminação, então devemos fazer algumas manipulações algébricas para tentar “jogar fora” a possível indeterminação.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Nosso limite é o seguinte:

L = underset(h -> 0)(lim) ((x + h)^3 - x^3)/(h)

A primeira coisa que podemos tentar é fazermos h = 0 , vamos ver o que acontece.

L = (x^3 - x^3)/(0) = (0)/(0)

Opaa, deu uma indeterminação!! Então vamos ter que dar uma mexida pra arrumar isso.

Passo 3

A ideia aqui vai ser abrir o termo (x + h)^3 e tentar tirar a indeterminação. Então vamos lá!

(x + h)^3 = x^3 + 3 x^2 h + 3 x h^2 + h^3

Logo,

((x + h)^3 - x^3)/(h) = (x^3 + 3 x^2 h + 3 x h^2 + h^3 - x^3)/(h)

Portanto,

((x + h)^3 - x^3)/(h) = (3 x^2 h + 3 x h^2 + h^3)/(h)

Como h tendo a 0 , isto é, nunca é 0 ... então podemos simplificar!

((x + h)^3 - x^3)/(h) = 3 x^2 + 3 x h + h^2

Passo 4

Agora vamos ver como ficam as coisas lá no limite

L = underset(h -> 0)(lim) 3 x^2 + 3 x h + h^2

Para h = 0 :

L = 3 x^2 + 3 x * 0 + 0^2 = 3 x^2

Resposta

underset(h -> 0)(lim) ((x + h)^3 - x^3)/(h) = 3 x^2

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