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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 14

Ache o limite

underset(t -> 2^-)(lim) (- t + 2)/((t - 2)^2)

Passo 1

A primeira coisa para resolver esse limite é substituir o valor de t na expressão.

underset(t -> 2^-)(lim) (- t + 2)/((t - 2)^2) = (- 2 + 2)/((2 - 2)^2) = (0)/(0)

Opa, chegamos em uma indeterminação.

Primeiro vamos simplificar essa fração

(- t + 2)/((t - 2)^2)

Temos que

- t + 2 = - (t - 2)

Assim, nossa fração fica

(- t + 2)/((t - 2)^2) = - (t - 2)/((t - 2)^2)

Simplificando teremos

- (1)/(t - 2)

Nosso limite vai ficar

underset(t -> 2^-)(lim) (- (1)/(t - 2))

Passo 2

Vamos substituir novamente

underset(t -> 2^-)(lim) (- (1)/(t - 2)) = - (1)/(2 - 2) = - (1)/(0)

Opa, deu um número dividido por 0 , quando isso acontecer significa que o nosso limite vai para infinito.

Aqui, falta só descobrir o sinal do infinito que ele vai, se vai ser + oo ou - oo

Para sabermos isso, precisamos analisar o sinal da expressão dentro do limite

Passo 3

Vamso olhar a expressão que ele deu

- (1)/(t - 2)

A questão pediu o limite lateral pela esquerda. Que é o limite por valores menores que 2 .

Repara que se pegarmos valores menores que 2 , o nosso denominador vai ser sempre menor que 0

t = 1 -> 1 - 2 = - 1

t = 1,9 -> 1,9 - 2 = - 0,1

E por aí vai.

Então vamos ter que esse denominador por valores menores que 2 é negativo.

Mas cuidado, tem um – na frente de toda fração, então a expressão vai ser positiva.

O que vai fazer com que aquele oo que vimos seja + oo

underset(t -> 2^-)(lim) (- t + 2)/((t - 2)^2) = + oo

Resposta

+ oo

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