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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 20

Nos exercícios de 13 a 32, ache o limite

underset(x -> 4^-)(lim) (sqrt(16 - x^2))/(x - 4)

Passo 1

E aí pessoal, tudo nice?

Aqui nós temos o limite de uma fração, onde o nosso x tende a 4 lateralmente, apenas pelos valores menores do que 4, ou seja, tá tendendo a 4 pela esquerda.

Começamos sempre jogando o valor do x na expressão para ver no que vai dar:

underset(x -> 4^-)(lim) (sqrt(16 - x^2))/(x - 4) = (sqrt(16 - 4^2))/(4 - 4) = (0)/(0)

Eita! Caímos numa indeterminação. Bora mexer nessa expressão e ver se conseguimos cortar algo. Esse numerador aí, tá dando a entender que eu consigo mexer nele hein...

Passo 2

O nosso numerador é

sqrt(16 - x^2)

Esse termo dentro da raíz, é um produto notável que a gente conhece... um termo ao quadrado menos outro termo ao quadrado, lembra? Se não lembra, vem comigo!

16 - x^2 = (4 + x) (4 - x)

Beleuza, substituindo na nossa expressão a gente fica como:

(sqrt(16 - x^2))/(x - 4) = (sqrt((4 + x) (4 - x)))/(x - 4)

Um jeito melhor de escrever essa raíz e que nos ajuda a visualizar as coisas é:

(sqrt((4 + x) (4 - x)))/(x - 4) = ((4 + x)^((1)/(2)) (4 - x)^((1)/(2)))/(x - 4)

Parece que não temos nenhum termo no numerador para cortar com o denominador, mas repara só.... temos 4 - x e temos x - 4 ... talvez dê pra mexer nisso aí

x - 4 = - ( 4 - x )

Pô, agora ficou lindo

((4 + x)^((1)/(2)) (4 - x)^((1)/(2)))/(- ( 4 - x )) = - ((4 + x)^((1)/(2)) (4 - x)^((1)/(2)))/((4 - x)^1)

Fazendo essa divisão, vamos ter que:

- ((4 + x)^((1)/(2)) (4 - x)^((1)/(2)))/((4 - x)^1) = - (4 + x)^((1)/(2)) (4 - x)^(- (1)/(2))

Só lembrando que um número negativo no expoente, representa uma fração...

- ((4 + x)^((1)/(2)))/((4 - x)^((1)/(2))) = - sqrt((4 + x)/(4 - x))

Agora, não teremos mais uma indeterminação se substituirmos o nosso valor do x , mas teremos uma divisão por zero.

underset(x -> 4^-)(lim) (sqrt(16 - x^2))/(x - 4) = underset(x -> 4^-)(lim) (- sqrt((4 + x)/(4 - x))) = - (sqrt(8))/(0)

Beleza, sabemos então que esse negócio aí vai para infinito. Mas qual infinito? + oo ou - oo ?

Para isso precisamos fazer uma análise de sinal.

Passo 3

Olhando para a nossa expressão final, nós temos:

sqrt((4 + x)/(4 - x))

Aqui nós temos que analisar o limite com x tendendo a 4 pela esquerda, ou seja, por valores menores do que 4.

Olhando para o nosso denominador, vamos ver o que acontece

x = 3 -> 4 - 3 = 1

x = 3,9 -> 4 - 3,9 = 0,1

x = 3,99 -> 4 - 3,99 = 0,01

Dá pra ver que nosso denominador, vai ser sempre maior do que zero e, portanto, positivo.

E com o numerador, o que acontece?

x = 3 -> 4 + 3 = 7

x = 3,9 -> 4 + 3,9 = 7,9

x = 3,99 -> 4 + 3,99 = 7,99

Também só teremos valores positivos!

Com isso podemos fechar a nossa análise!

Passo 4

Sabemos que:

underset(x -> 4^-)(lim) (sqrt(16 - x^2))/(x - 4) = - underset(x -> 4^-)(lim) sqrt((4 + x)/(4 - x))

E nosso limite vai para infinito, pois teremos um zero no nosso denominador. Com a análise vimos que esse limite vai dar num número positivo, com isso podemos afirmar que nosso limite vai para + oo .

underset(x -> 4^-)(lim) (sqrt(16 - x^2))/(x - 4) = - underset(x -> 4^-)(lim) sqrt((4 + x)/(4 - x)) = - oo

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Resposta

underset(x -> 4^-)(lim) (sqrt(16 - x^2))/(x - 4) = - oo

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