Nos exercícios de 13 a 32, ache o limite

lim x → 4 - ⁡ 16 - x 2 x - 4

Passo 1

E aí pessoal, tudo nice?

Aqui nós temos o limite de uma fração, onde o nosso x tende a 4 lateralmente, apenas pelos valores menores do que 4, ou seja, tá tendendo a 4 pela esquerda.

Começamos sempre jogando o valor do x na expressão para ver no que vai dar:

lim x → 4 - ⁡ 16 - x 2 x - 4 = 16 - 4 2 4 - 4 = 0 0

Eita! Caímos numa indeterminação. Bora mexer nessa expressão e ver se conseguimos cortar algo. Esse numerador aí, tá dando a entender que eu consigo mexer nele hein...

Passo 2

O nosso numerador é

16 - x 2

Esse termo dentro da raíz, é um produto notável que a gente conhece... um termo ao quadrado menos outro termo ao quadrado, lembra? Se não lembra, vem comigo!

16 - x 2 = 4 + x 4 - x

Beleuza, substituindo na nossa expressão a gente fica como:

16 - x 2 x - 4 = 4 + x 4 - x x - 4

Um jeito melhor de escrever essa raíz e que nos ajuda a visualizar as coisas é:

4 + x 4 - x x - 4 = 4 + x 1 2 4 - x 1 2 x - 4

Parece que não temos nenhum termo no numerador para cortar com o denominador, mas repara só.... temos 4 - x e temos x - 4 ... talvez dê pra mexer nisso aí

x - 4 = - ( 4 - x )

Pô, agora ficou lindo

4 + x 1 2 4 - x 1 2 - ( 4 - x ) = - 4 + x 1 2 4 - x 1 2 4 - x 1

Fazendo essa divisão, vamos ter que:

- 4 + x 1 2 4 - x 1 2 4 - x 1 = - 4 + x 1 2 4 - x - 1 2

Só lembrando que um número negativo no expoente, representa uma fração...

- 4 + x 1 2 4 - x 1 2 = - 4 + x 4 - x

Agora, não teremos mais uma indeterminação se substituirmos o nosso valor do x , mas teremos uma divisão por zero.

lim x → 4 - ⁡ 16 - x 2 x - 4 = lim x → 4 - ⁡ - 4 + x 4 - x = - 8 0

Beleza, sabemos então que esse negócio aí vai para infinito. Mas qual infinito? + ∞   ou - ∞ ?

Para isso precisamos fazer uma análise de sinal.

Passo 3

Olhando para a nossa expressão final, nós temos:

4 + x 4 - x

Aqui nós temos que analisar o limite com x tendendo a 4 pela esquerda, ou seja, por valores menores do que 4.

Olhando para o nosso denominador, vamos ver o que acontece

x = 3 → 4 - 3 = 1

x = 3,9 → 4 - 3,9 = 0,1

x = 3,99 → 4 - 3,99 = 0,01

Dá pra ver que nosso denominador, vai ser sempre maior do que zero e, portanto, positivo.

E com o numerador, o que acontece?

x = 3 → 4 + 3 = 7

x = 3,9 → 4 + 3,9 = 7,9

x = 3,99 → 4 + 3,99 = 7,99

Também só teremos valores positivos!

Com isso podemos fechar a nossa análise!

Passo 4

Sabemos que:

lim x → 4 - ⁡ 16 - x 2 x - 4 = - lim x → 4 - ⁡ 4 + x 4 - x

E nosso limite vai para infinito, pois teremos um zero no nosso denominador. Com a análise vimos que esse limite vai dar num número positivo, com isso podemos afirmar que nosso limite vai para + ∞ .

lim x → 4 - ⁡ 16 - x 2 x - 4 = - lim x → 4 - ⁡ 4 + x 4 - x = - ∞

Bate aqui! Mais uma

Resposta

lim x → 4 - ⁡ 16 - x 2 x - 4 = - ∞

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados