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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 49

Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação

4 9 )   3 x y - 2 x - 4 y - 3 = 0

Passo 1

Vamos escrever isso como y x antes de mais nada, belezinha? Saca só:

3 x y - 2 x - 4 y - 3 = 0

y 3 x - 4 - 2 x - 3 = 0

y 3 x - 4 = 2 x + 3

y x = 2 x + 3 3 x - 4

Passo 2

Bora achar as assíntotas horizontais. Precisamos pra isso fazer os limites pros infinito, beleza?

lim x → ± ∞ ⁡ 2 x + 3 3 x - 4 = lim x → ± ∞ ⁡ x 2 + 3 x x 3 - 4 x = lim x → ± ∞ ⁡ 2 + 3 x 3 - 4 x

Nos dois casos teremos

lim x → ± ∞ ⁡ 2 + 3 x 3 - 4 x = 2 + 0 3 - 0 = 2 3

Limites deram números? Então beleza, temos assíntotas horizontais!

Passo 3

Pras verticais, fazemos os limites pro ponto que “dá problema”. No caso, limites laterais pra x = 4 3 , único ponto que zera o denominador:

lim x → 4 3 + ⁡ 2 x + 3 3 x - 4 = 17 3 0 + = + ∞

lim x → 4 3 - ⁡ 2 x + 3 3 x - 4 = 17 3 0 - = - ∞

Se os limites explodiram então temos duas assíntotas verticais:

Passo 4

Juntando os resultados dos limites, esboçamos:

lim x → ± ∞ ⁡ 2 x + 3 3 x - 4 = 2 3

lim x → 4 3 + ⁡ 2 x + 3 3 x - 4 = + ∞

lim x → 4 3 - ⁡ 2 x + 3 3 x - 4 = - ∞

Resposta

lim x → ± ∞ ⁡ 2 x + 3 3 x - 4 = 2 3

lim x → 4 3 + ⁡ 2 x + 3 3 x - 4 = + ∞

lim x → 4 3 - ⁡ 2 x + 3 3 x - 4 = - ∞

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