Trace o gráfico de uma função que satisfaça as condições dadas.

, ,,

e

O segundo passo é perceber que e ambos dão mudando apenas o sinal, isso quer dizer que em , tem um “probleminha”.

Da mesma forma, veremos que , e que também será um “probleminha” para . Isso nos quer dizer a fosse função provavelmente é uma divisão de polinômios, que quando substituímos ou o denominador zera.

O terceiro passo consiste em lembrar que , perceber que com isso o numerador deve depender de , para que possa zerar. Além disso, observar que talvez seja mais simples imaginar a cara da função se considerarmos um caso para e outro para .

O limite dessa função assume valores diferentes quando e quando , então vamos separar o problema em duas partes, ou seja, vamos imaginar a cara da função quando e quando .

Para isso vamos ver que a cara da quando , sabendo que ela tem que ser uma divisão de polinômios, onde o grau do polinômio de baixo deve ser maior que o do polinômio de cima.

Lembrando que até agora, sabemos que deve ser uma divisão de polinômios, onde o grau do polinômio de baixo fosse maior que o do polinômio de cima, o numerador deve depender de para poder zerar e o denominador apresenta “probleminhas” em ou

Então quando podemos pensar em escrever assim:

O que TOP pois,

E

Além disso,

Isso acontece pois estamos considerando então esse serão positivo, ou se caso forem negativos a regra de sinal fará com que a fração fique positiva.

Mas ainda temos a cara de quando podemos pensar em escrevê-la assim:

Isso é legal porque,

E

Além disso,

Isso acontece pois estamos considerando então esse serão positivo, dessa forma, quando subtraíssemos o número final seria negativo. E para , não vamos encontrar nenhum problema.

E portanto,