Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 35
Ache o limite
Sugestão: Primeiro obtenha uma fração com um numerador racional.
Passo 1
Se tentarmos substuir o infinito vamos achar uma indeterminação. Vamos seguir a sugestão dele. Mas como fazermos isso?
Quando nos depararmos com uma subtração de tendo um dos termos sendo uma raiz cúbica, temos que fazer uma conta um pouco mais chata. Que vai ser essa aqui:
Na nossa questão
A nossa fração vai ficar
Opa, chegamos na fração que ele queriamos.
Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com indo para .
Pera, mas tem uma raiz? Não importa. Tem um polinômio dentro da Raiz? Então vamos usar a mesma ideia desse tipo de questão.
Para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.
Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite
Passo 2
O nosso numerador é
Colocando em evidência:
Passo 3
O nosso Denominador é
Vamos trabalhar com calma.
Colocando em evidência dentro da primeira raiz, vamos ter
Podemos tirar aquele da raiz.
Temos
Vamos ter:
Aqui não precisamos nos preocupar com módulo porque a raiz é ímpar.
Passo 4
Colocando em evidência dentro da segunda raiz, vamos ter
Podemos tirar aquele da raiz.
Temos
Vamos ter:
Aqui não precisamos nos preocupar com módulo porque a raiz é ímpar.
Passo 5
Nosso denominador vai ficar
Fazendo as contas
Agora colocarmos o em evidência em tudo.
Passo 6
A nossa fração vai ficar
Agora, vamos tomar o limite
Lembrando que o limite de um número sobre é sempre , vamos ter