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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.5 - Ex. 24

Encontre a derivada da função dada:

f (t) = senh^(- 1) e^(2 t)

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de senh^(- 1)

(senh^(- 1) t)^' = (1)/(sqrt(t^2 + 1))

Vamos fazer

f (t) = g (h (t))

Com

g (t) = senh^(- 1) t

h (t) = e^(2 t)

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

f^' (t) = g^' (h (t)) h^' (t)

Temos

g^' (t) = (1)/(sqrt(t^2 + 1))

Que é a derivada de senh^(- 1)

Então

f^' (t) = (1)/(sqrt((h (t))^2 + 1)) h^' (t)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h (t)

h (t) = e^(2 t) -> h^' (t) = 2 e^(2 t)

Vamos ter

f^' (t) = (1)/(sqrt((e^(2 t))^2 + 1)) 2 e^(2 t)

f^' (t) = (2 e^(2 t))/(sqrt(e^(4 t) + 1))

Resposta

f^' (t) = (2 e^(2 t))/(sqrt(e^(4 t) + 1))

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