Encontre o comprimento de arco exato das curvas acima dos intervalos dados.

y = x^(2/3), dx = 1 até x = 8

Passo 1

Vamos lá, é só a gente usar a fórmula:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2   d x

Vamos fazer a derivada da função então:

f ' x = 2 3 x - 1 3

Beleza, agora a gente aplica na fórmula:

Passo 2

Agora vamos resolver essa belezinha aqui...

L = ∫ 1 8 1 + 2 3 x - 1 3 2     d x  

L = ∫ 1 8 1 + 4 9 x - 2 3   d x

L = ∫ 1 8 9 x 2 3 + 4 9 x 2 3     d x

L = ∫ 1 8 9 x 2 3 + 4 3 x 1 / 3   d x

Passo 3

Agora a gente faz u = 9 x 2 3 + 4 e teremos d u = 18 3 x - 1 3   d x . ..

L = 1 18 ∫ u   d u

Resolvemos a indefinida em u :

= 1 18 ⋅ 2 3 u 3 / 2

= 1 27 u 3 / 2

Voltamos para a variável x :

L = 1 27 9 x 2 3 + 4 3 2 1 8

L = 1 27 40 3 2 - 13 3 2

E prontinho! Achamos o comprimento da curva😉

Resposta

L = 1 27 40 3 2 - 13 3 2

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