Encontre o comprimento de arco exato das curvas acima dos intervalos dados.

y = x 2 3 ,   d e   x = 1   a t é   x = 8

Passo 1

Vamos lá, é só a gente usar a fórmula:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2   d x

Vamos fazer a derivada da função então:

f ' x = 2 3 x - 1 3

Beleza, agora a gente aplica na fórmula:

Passo 2

Agora vamos resolver essa belezinha aqui...

L = ∫ 1 8 1 + 2 3 x - 1 3 2     d x  

L = ∫ 1 8 1 + 4 9 x - 2 3   d x

L = ∫ 1 8 9 x 2 3 + 4 9 x 2 3     d x

L = ∫ 1 8 9 x 2 3 + 4 3 x 1 / 3   d x

Passo 3

Agora a gente faz u = 9 x 2 3 + 4 e teremos d u = 18 3 x - 1 3   d x . ..

L = 1 18 ∫ u   d u

Resolvemos a indefinida em u :

= 1 18 ⋅ 2 3 u 3 / 2

= 1 27 u 3 / 2

Voltamos para a variável x :

L = 1 27 9 x 2 3 + 4 3 2 1 8

L = 1 27 40 3 2 - 13 3 2

E prontinho! Achamos o comprimento da curva😉

Resposta

L = 1 27 40 3 2 - 13 3 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar a massa total e o centro de massa. 14.O comprimento da barra é 20cm e a densidade linear da barra em um ponto a xm de um extremo é (3x+2)g/cm.
Ache a massa total e o centro de massa.20. Uma barra tem 10 cm e medida da densidade linear em um ponto é uma função linear da medida da distancia ao centro da barra. A densidade linear em cada extrem
Achar a massa total e o centro de massa.19. A medida da densidade linear em qualquer ponto de uma barra com 6 m varia diretamente com a distância do ponto a um ponto externo na reta suporte da barra e
Ache a massa total e o centro de massa18. O comprimento da barra é 10 m e a medida da densidade linear em um ponto é uma função linear da medida da distância do ponto ao extremo esquerdo da barra. A d
27. Uma barra tem 6 m de comprimento e sua massa é de 24 kg. Se a medida da densidade linear em qualquer ponto da barra varia diretamente com o quadrado da distância do ponto a um extrmo, ache o maior