Enunciado

Encontre o comprimento de arco exato das curvas acima dos intervalos dados.

y = 1 3 y 2 + 2 3 2 ,   d e   y = 0   a t é   y = 1

Passo 1

Vamos lá, é só a gente usar a fórmula:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2   d x

Aqui a função tá em y mas não muda nada, é só aplicar!

Vamos fazer a derivada da função então:

f ' y = y y 2 + 2

Beleza, agora a gente aplica na fórmula:

Passo 2

Agora vamos resolver essa belezinha aí...

L = ∫ 0 1 ( 1 + y y 2 + 2 2     d y  

= ∫ 0 1 1 + y 2 y 2 + 2   d y

= ∫ 0 1 1 + y 4 + 2 y 2   d y

= ∫ 0 1 y 2 + 1 2   d y

= ∫ 0 1 y 2 + 1   d y

= y 3 3 + y 0 1

= 1 3 + 1

L = 4 3

E prontinho! Achamos o comprimento da curva😉

Resposta

L = 4 3

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