Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.4 - Ex. 21
Ache a massa total e o centro de massa.
21. A medida da densidade linear em um ponto de uma barra varia diretamente com a terceira potência da medida da distância do ponto a um extremo. O comprimento da barra é 4 m e a densidade linear no centro é de 2 kg/m.
Passo 1
O primeiro passo e encontrar a densidade, já que uma vez encotrada a função da densidade podemos integra-la para achar a massa total e logo depois o centro de massa.
O exercício nos diz que a densidade varia com a terceira potência da distância, ou seja, ela pode ser escrita da seguinte forma:
onde é a medida da distância em relação ao começo da barra.
Passo 2
Para encontrar a função que descreve a densidade precisamos descobrir qual o valor da constante . Para isso o exercício nos fornece as seguinte informação:
- A densidade linear no centro da barra é 2 kg/m, ou seja , . Com isso podemos descobrir a contante.
Agora basta substituir k na função e obtemos o comportamento da densidade linear:
Passo 3
Agora para achar a massa total usaremos a seguinte relação:
Onde nessa equação 𝞀 é a densidade do corpo e l é o comprimento da barra.
Com isso temos que a massa total pode ser expressa pela seguinte relação:
Isso é, a massa total vai ser a integral da densidade.
Achamos então a massa total da barra.
Resposta
Para achar o centro de massa usaremos a seguinte relação:
Onde l é o comprimento da barra e é a densidade.
Portanto temos a seguinte equação para o centro de massa:
Resposta
Massa total: 16 kg
Centro de massa: