Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.4 - Ex. 26
26. A massa total de uma barra com L m de comprimento é M kg e a medida da densidade linear num ponto a x m do extremo esquerdo é proporcional a medida da distância do ponto ao extremo direito. Mostre que a densidade linear em um ponto da barra a x m do extremo esquerdo é kg/m.
Passo 1
O primeiro passo e encontrar a densidade, já que uma vez encotrada a função da densidade podemos integra-la para achar a massa total e logo depois o centro de massa.
O exercício nos diz que a densidade é proporcional a distância do ponto ao extremo direito, distância essa que pode ser escrita como sendo onde L é o comprimento da barra e x é onde está localizado o ponto qualquer. Dessa forma temos a seguinte densidade:
onde é a medida da distância em relação ao começo da barra.
Passo 2
Agora que conhecemos o formato da densidade basta acharmos a constante K. para isso usaremos a seguinte relação:
Onde nessa equação 𝞀 é a densidade do corpo e l é o comprimento da barra.
Com isso temos que a massa total pode ser expressa pela seguinte relação:
Agora que temos a massa total podemos parrar ao próximo passo
Passo 3
Sabemos que a massa da barra é M kg/m, porém encontramos no passo anterior a massa total também, para que seja verdade a expressão para densidade dita no enunciado do exercício, as duas massas tem que ser iguais, portanto:
Agora que encotramos o valor de basta substitui-lo da expressão da densidade encotrada no passo 1. Por fim temos a seguinte densidade:
Resposta
Com temos a densidade .