Ache o valor de χ que satisfaz o teorema do valor médio para integrais para a integral a seguir. Faça uma figura ilustrando a aplicação do teorema.

∫ 0 2 x 2 d x = 8 3

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função f contínua num intervalo [ a , b ] , vai existir um número χ dentro do intervalo para o qual:

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( b - a )

Sabemos que a integral é a área abaixo do gráfico de uma função em dado intervalo, então o que o teorema diz é que existe um número dentro do intervalo para o qual a integral é igual a área de um retângulo com base ( b - a ) e com altura igual ao valor da função naquele ponto.

Pra acharmos qual é esse ponto χ , basta substituirmos diretamente os valores no teorema.

Passo 2

Temos então:

∫ 0 2 x 2 d x = f χ 2 - 0

⇒ 8 3 = 2 f χ

⇒ f χ = 8 3 ⋅ 2 = 4 3

Mas f χ = χ 2 , então isso nos leva a:

χ 2 = 4 3 ⇒ χ = ± 2 3

Como estamos no intervalo [ 0,2 ] , χ não pode ser negativo, então chegamos ao valor

χ = 2 3 ≈ 1,15

Passo 3

Para ilustrar o teorema, esboçamos o gráfico da função f x = x 2 no intervalo [ 0,2 ] e mostramos o retângulo com base na semi-reta que vai de ( 0,0 ) a ( 2,0 ) e altura igual a f 2 3 = 4 3 .

Note que a integral tem valor A 2 + A 3 e o retângulo tem área A 1 + A 2 , e se essas duas áreas são iguais isso implica que A 1 = A 3 .

Resposta

χ = 2 3

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