Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.7 - Ex. 20

Ache o valor médio da função f definida por f x = sec 2 ⁡ x no intervalo 0 , π 4 , dado que ∫ 0 π / 4 sec 2 ⁡ x d x = 1 . Ache também o valor de x   no qual ocorre o valor médio. Dê uma interpretação geométrica dos resultados.

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função f contínua num intervalo [ a , b ] , vai existir um número χ dentro do intervalo para o qual:

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( b - a )

Esse valor f ( χ ) é considerado o valor médio da função no intervalo dado, então achamos o valor médio pela seguinte fórmula:

f χ = ∫ a b f x d x b - a

Passo 2

Aplicando o teorema, achamos f ( χ ) :

f χ = ∫ 0 π / 4 sec 2 ⁡ x d x π 4 - 0 = 1 π / 4 = 4 π

Então 4 π é o valor médio da função f x = sec 2 ⁡ x no intervalo [ 0 , π 4 ] . O valor de x para o qual esse valor médio ocorre é achado da seguinte forma:

sec 2 ⁡ x = 4 π ⇒ sec ⁡ x = 2 π

O valore é positivo pois estamos no primeiro quadrante que tem cosseno positivo e consequentemente secante positiva.

sec ⁡ x = 2 π ⇒ cos ⁡ x = π 2 ⇒ x = cos - 1 ⁡ π 2 ≈ 0,48

Passo 3

Podemos interpretar geometricamente o resultado mostrando o gráfico de f x = sec 2 ⁡ x no intervalo dado e seu valor médio 4 π . A área abaixo do gráfico de f ( x ) será exatamente a área do retângulo com base indo de 0,0 e ( π 4 , 0 ) e de altura 4 π .

Perceba que, pelo teorema, as áreas A 1 e A 2 são iguais.

Resposta

f x m = 4 π

x = cos - 1 ⁡ π 2 ≈ 0,48

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre o Teorema do Valor Médio para Integrais usando o Teorema do Valor Médio para derivadas (veja a Seção 4.2) para a função F x = ∫ a x f ( t ) d t .
A velocidade v do sangue que circula em uma veia com raio R e comprimento l a uma distância r do eixo central é v r = P 4 η l R 2 - r 2 em que P é a diferença de pressão entre as extremidades da veia
Uma xícara de café tem temperatura de 95º C º e leva 30 minutos para esfriar até 61º C º em uma sala com temperatura de 20º C º . Use a Lei de Newton do Resfriamento (Seção 3.8) para mostrar que a tem
Se um corpo em queda livre parte do repouso, então o seu deslocamento é dado por s = 1 2 g t ² ². Seja v t a velocidade após um tempo T . Mostre que, se calcularmos a média das velocidades em relação
Se f med [ a , b ] denota o valor médio de f no intervalo [ a , b ] e acb , mostre que f med a , b = c - a b - a f med a , c + b - c b - a f med [ c , b ]