Ache o valor médio da função f definida por f x = sec 2 ⁡ x no intervalo 0 , π 4 , dado que ∫ 0 π / 4 sec 2 ⁡ x d x = 1 . Ache também o valor de x   no qual ocorre o valor médio. Dê uma interpretação geométrica dos resultados.

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função f contínua num intervalo [ a , b ] , vai existir um número χ dentro do intervalo para o qual:

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( b - a )

Esse valor f ( χ ) é considerado o valor médio da função no intervalo dado, então achamos o valor médio pela seguinte fórmula:

f χ = ∫ a b f x d x b - a

Passo 2

Aplicando o teorema, achamos f ( χ ) :

f χ = ∫ 0 π / 4 sec 2 ⁡ x d x π 4 - 0 = 1 π / 4 = 4 π

Então 4 π é o valor médio da função f x = sec 2 ⁡ x no intervalo [ 0 , π 4 ] . O valor de x para o qual esse valor médio ocorre é achado da seguinte forma:

sec 2 ⁡ x = 4 π ⇒ sec ⁡ x = 2 π

O valore é positivo pois estamos no primeiro quadrante que tem cosseno positivo e consequentemente secante positiva.

sec ⁡ x = 2 π ⇒ cos ⁡ x = π 2 ⇒ x = cos - 1 ⁡ π 2 ≈ 0,48

Passo 3

Podemos interpretar geometricamente o resultado mostrando o gráfico de f x = sec 2 ⁡ x no intervalo dado e seu valor médio 4 π . A área abaixo do gráfico de f ( x ) será exatamente a área do retângulo com base indo de 0,0 e ( π 4 , 0 ) e de altura 4 π .

Perceba que, pelo teorema, as áreas A 1 e A 2 são iguais.

Resposta

f x m = 4 π

x = cos - 1 ⁡ π 2 ≈ 0,48

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