Ache o valor médio da função f definida por f x = sec 2 ⁡ x no intervalo 0 , π 4 , dado que ∫ 0 π / 4 sec 2 ⁡ x d x = 1 . Ache também o valor de x no qual ocorre o valor médio. Dê uma interpretação geométrica dos resultados.

f x m = 4 π x = cos - 1 ⁡ π 2 ≈ 0,48

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.7 - Ex. 20

Ache o valor médio da função definida por no intervalo , dado que . Ache também o valor de no qual ocorre o valor médio. Dê uma interpretação geométrica dos resultados.

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função contínua num intervalo , vai existir um número dentro do intervalo para o qual:

Esse valor é considerado o valor médio da função no intervalo dado, então achamos o valor médio pela seguinte fórmula:

Passo 2

Aplicando o teorema, achamos :

Então é o valor médio da função no intervalo . O valor de para o qual esse valor médio ocorre é achado da seguinte forma:

O valore é positivo pois estamos no primeiro quadrante que tem cosseno positivo e consequentemente secante positiva.

Passo 3

Podemos interpretar geometricamente o resultado mostrando o gráfico de no intervalo dado e seu valor médio . A área abaixo do gráfico de será exatamente a área do retângulo com base indo de e e de altura .

Perceba que, pelo teorema, as áreas e são iguais.

Resposta

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