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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 39

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

3 9 .   ∫ 4 t - t 2   d t  

Passo 1

Vamos facilitar essa equação completando quadrados dentro da nossa raiz:

- t 2 + 4 t - 4 + 4 = - t + 2 2 + 4 =   - t - 2 2 + 4

Nossa integral fica:

∫ - t - 2 2 + 4 d t

Passo 2

Vamos fazer aqui uma substituição simples de modo que:

u = t - 2 ⇒ d u = d t

Então:

∫ - u 2 + 4 d u

Passo 3

Podemos ver que nossa integral assume a forma a 2 - x 2 onde a 2 = 4 e x 2 = u 2 então faremos uma substituição trigonométrica:

u = 2 s e n   θ ⇒ d u = 2 c o s   θ   d θ

Ou seja:

∫ [ 4   - 2 s e n   θ 2 ⋅ 2 cos ⁡ θ ]   d θ = ∫ [ 4   - 4 s e n 2 θ ⋅ 2 cos ⁡ θ ]   d θ

                                                                                                                        = ∫ [ 4 ( 1   - s e n 2 θ ) ⋅ 2 cos ⁡ θ ]   d θ

                                                                                                                        = ∫ [ 2 cos 2 ⁡ θ ⋅ 2 cos ⁡ θ ]   d θ

                                                                                                                        = ∫ 2 cos ⁡ θ ⋅ 2 c o s   θ d θ

                                                                                                                          = 4 ∫ cos 2 ⁡ θ   d θ

Passo 4

Integrando:

Sabemos que na integral cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 quando o expoente na integral é par, então:

4 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ =   4 ∫ 1 2 d θ + 4 ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ

                                                                      = 2 θ + 4 ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ + c

Passo 5

Vamos fazer uma substituição na integral que nos resta:

s = 2 θ ⇒ d s = 2 d θ

4 ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 4   ∫ cos ⁡ s 4 d s   =   s e n   s + d

Voltando para variável original:

4 ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ = s e n   2 θ + d

Passo 6

Unindo tudo:

4 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ =   2 θ + s e n   2 θ + C

Contudo, θ não é nossa variável inicial, então voltar todas as nossas substituições:

u = 2 s e n   θ ⇒   θ = a r c s e n u 2

2 θ + s e n   2 θ + C = 2 a r c s e n u 2 + s e n   2 a r c s e n u 2 + C  

u = t - 2

2 a r c s e n u 2 + s e n   2 a r c s e n u 2 + C = 2 a r c s e n t - 2 2 + s e n   2 a r c s e n t - 2 2 + C    

Resposta

∫ 4 t - t 2   d t = 2 a r c s e n t - 2 2 + s e n   2 a r c s e n t - 2 2 + C  

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