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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.Revisão - Ex. 44

Ache a menor distância do ponto (2 , - 5) à reta 3 x + y = 2 .

Passo 1

A menor distância de um ponto a uma reta é a distância perpendicular. Isso significa que precisamos achar a reta perpendicular à reta dada e que passe pelo ponto dado, achar o ponto de interseção dessas retas e então medir a distância entre esses dois pontos.

Passo 2

Sabemos que os coeficientes angulares de duas retas perpendiculares quando multiplicados devem resultar em - 1 . O coeficiente angular da reta 3 x + y = 2 <=> y = 2 - 3 x é - 3 , então o coeficiente angular da reta desejada é m = (- 1)/(- 3) = (1)/(3) .

Passo 3

Substituindo na forma y = m * (x - x_0) + y_0 , temos que y = (1)/(3) (x - 2) - 5 é a reta que procuramos.

Passo 4

Para achar o ponto em questão, resolvemos o seguinte sistema:

{(3 x + y = 2)/(y = (1)/(3) (x - 2) - 5))

Substituindo a segunda na primeira, temos

3 x + (1)/(3) (x - 2) - 5 = 2

3 x + (1)/(3) x = 2 + (2)/(3) + 5

(10)/(3) x = (23)/(3)

x = (23)/(10) = 2,3

Substituindo nas equações originais, temos que o ponto de interseção das duas retas é (2,3 ; - 4,9) .

Passo 5

Como a distância do ponto (2 , - 5) à reta 3 x + y = 2 é igual à distância entre os pontos (2 , - 5) e (2,3 ; - 4,9) , temos

d = sqrt((2,3 - 2)^2 + (- 4,9 - (- 5))^2) = sqrt(0,1) = (sqrt(10))/(10)

Resposta

d = (sqrt(10))/(10) u . c .

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