Ache a menor distância do ponto (2, -5) à reta 3x + y = 2 .

Passo 1

A menor distância de um ponto a uma reta é a distância perpendicular. Isso significa que precisamos achar a reta perpendicular à reta dada e que passe pelo ponto dado, achar o ponto de interseção dessas retas e então medir a distância entre esses dois pontos.

Passo 2

Sabemos que os coeficientes angulares de duas retas perpendiculares quando multiplicados devem resultar em - 1 . O coeficiente angular da reta 3 x + y = 2 ⇔ y = 2 - 3 x é - 3 , então o coeficiente angular da reta desejada é m = - 1 - 3 = 1 3 .

Passo 3

Substituindo na forma y = m ⋅ x - x 0 + y 0 , temos que y = 1 3 x - 2 - 5 é a reta que procuramos.

Passo 4

Para achar o ponto em questão, resolvemos o seguinte sistema:

3 x + y = 2 y = 1 3 x - 2 - 5

Substituindo a segunda na primeira, temos

3 x + 1 3 x - 2 - 5 = 2

3 x + 1 3 x = 2 + 2 3 + 5

10 3 x = 23 3

x = 23 10 = 2,3

Substituindo nas equações originais, temos que o ponto de interseção das duas retas é 2,3 ;   - 4,9 .

Passo 5

Como a distância do ponto 2 ,   - 5 à reta 3 x + y = 2 é igual à distância entre os pontos 2 ,   - 5 e 2,3 ;   - 4,9 , temos

d = 2,3 - 2 2 + - 4,9 - - 5 2 = 0,1 = 10 10

Resposta

d = 10 10   u .   c .

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