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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 4

Ache os números críticos da função dada.

f (x) = x^(7 // 3) + x^(4 // 3) - 3 x^(1 // 3)

Passo 1

A questão pede para acharmos os números críticos da função. É importante lembrar que os pontos críticos de uma função são os pontos do domínio da função em que f^' (x) = 0 ou que f ' não existe. Assim, basta derivar a função e depois procurar os pontos críticos!

Derivando f :

f^' (x) = (7)/(3) x^(4 // 3) + (4)/(3) x^(1 // 3) - x^(- 2 // 3)

Note que f ' não está definido para x = 0 , de modo que esse é um dos pontos críticos de f . Os demais números críticos são obtidos fazendo f^' (x) = 0 .

Passo 2

Igualando a derivada a zero:

(7)/(3) x^((4)/(3)) + (4)/(3) x^((1)/(3)) - (1)/(x^((2)/(3))) = 0 => (7 x^2 + 4 x - 3)/(3 x^((2)/(3))) = 0

Desta forma,

7 x^2 + 4 x - 3 = 0

Portanto,

x = (- 4 +- sqrt(16 + 84))/(14) = (- 4 +- 10)/(14)

Assim, os pontos críticos são

x = 0 , x = - 1 e x = (3)/(7)

Resposta

x = 0 , x = - 1 e x = (3)/(7)

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