Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 47
Em uma floresta, um predador alimenta-se de sua presa, e a população de predadores em qualquer época é uma função do número de presas naquele momento. Suponha que quando há presas na floresta, a população de predadores é . Além disso, se semanas tiverem se passado até o final da temporada de caça, . A que taxa a população de predadores estará crescendo 8 semanas depois que a temporada de caça terminou? Não expresse em termos de , mas use a regra da cadeia.
Passo 1
Esse é um exercício típico de aplicação da regra da cadeia. Note que é função de que, por sua vez, é função de . Assim, é na verdade uma função de , isto é, . Poderíamos exprimir diretamente como função do tempo substituindo uma função na outra:
E daí poderíamos derivar com relação ao tempo diretamente, mas a questão pede que não façamos isso. Para contornar esse problema, vamos recorrer a boa e velha regra da cadeia!
Passo 2
Relembrando a regra de cadeia, se tivermos uma função composta do tipo , sua derivada com relação ao tempo será
No nosso caso, queremos a taxa de variação de quando , isto é, . Assim,
Basta calcular essas derivadas nos respectivos pontos e o problema está resolvido!
Passo 3
Vamos achar primeiro . Derivando usando a regra do tombo:
Como , temos que
Agora vamos encontrar . Derivando , obtemos
Assim, . Portanto, chegamos finalmente que
Resposta
predadores/semana.