26. Faça esboços dos gráficos de y = sen(x) e y = m*x no mesmo conjunto de eixos. Note que se m for positivo próximo de zero, então os gráficos interceptam-se num ponto cuja abscissa é próxima de pi . Seja f(x) = sen(x) - mx . Usando o polinômio de Taylor do segundo grau de f em pi mostre que uma solução aproximada da equação sen x = m x , quando m é positivo e próximo de zero, é dado por x ≈ π / (1 + m) .

Passo 1

Nesta questão o enunciado não nos fornece muitas informações, somente o que ele quer que encontramos mesmo. Para isso, basta aplicarmos a formula do polinômio de Taylor do enésimo grau apresentada ao longo da Seção.

O Polinômio de Taylor de enésimo grau da função f no número a é dado por:

P n x = f a + f ´ a 1 ! . x - a + f ´ ´ a 2 ! . x - a 2 + … + f n a n !   . x - a n

Passo 2

Sendo assim, para a função dessa questão o polinômio de Taylor ficaria da seguinte forma:

P 1 x = f π + f ´ π 1 ! . x - π

P 1 x = - m π - 1 + m x - π = 0

Então,

m π = - 1 + m x - π

x - π = - m π 1 + m

x ≈ π 1 + m

Resposta

x ≈ π 1 + m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache o polinômio de Taylor de grau n com resto de Lagrange em um número a para a função definida pela equação dada.f(x) = x^(-1/2) a = 9 n = 4
Sejam n um natural ímpar e f(x) = sen(x) . Mostre que, para todo x ,| sen(x) - (x - (x^3 / 3! + (x^5 / 5! - ... + (-1)^(n-1) * (n-1)/2 * (x^n / n!))) ≤ (|x|^(n+2) / (n+2)!)
Avalie sen(1) com erro, em módulo, inferior a 10^(-5) . (Sugestão: utilize o Exercício 2 .)
Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado. f x = sen ⁡ x e x 0 = 0
Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x0 dado.f(x) = cos(x) e x_0 = 0