26. Faça esboços dos gráficos de y = sen(x) e y = m*x no mesmo conjunto de eixos. Note que se m for positivo próximo de zero, então os gráficos interceptam-se num ponto cuja abscissa é próxima de pi . Seja f(x) = sen(x) - mx . Usando o polinômio de Taylor do segundo grau de f em pi mostre que uma solução aproximada da equação sen x = m x , quando m é positivo e próximo de zero, é dado por x ≈ π / (1 + m) .

Passo 1

Nesta questão o enunciado não nos fornece muitas informações, somente o que ele quer que encontramos mesmo. Para isso, basta aplicarmos a formula do polinômio de Taylor do enésimo grau apresentada ao longo da Seção.

O Polinômio de Taylor de enésimo grau da função f no número a é dado por:

P n x = f a + f ´ a 1 ! . x - a + f ´ ´ a 2 ! . x - a 2 + … + f n a n !   . x - a n

Passo 2

Sendo assim, para a função dessa questão o polinômio de Taylor ficaria da seguinte forma:

P 1 x = f π + f ´ π 1 ! . x - π

P 1 x = - m π - 1 + m x - π = 0

Então,

m π = - 1 + m x - π

x - π = - m π 1 + m

x ≈ π 1 + m

Resposta

x ≈ π 1 + m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados