Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.1 - Ex. 71
Entre e , o volume (em centímetros cúbicos) de 1kg de água a uma temperatura é aproximadamente dado pela fórmula
Encontre a temperatura na qual a água tem sua densidade máxima
Passo 1
Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver esse problema.
Basicamente o que queremos aqui é calcular os pontos críticos da função dada, e estaremos mais interessados no ponto critico máximo da função dada.
Temos que a densidade é dada por
Como a massa é constante, será máxima quando o volume for mínimo.
Para calcular esse volume mínimo, basta derivarmos a função e igualar a zero.
Passo 2
Temos então, a derivada do volume:
Igualando ela a zero:
Pela fórmula de baskara, temos
Passo 3
Para continuarmos deveremos aplicar o método do invervalo fechado:
O Método do Intervalo Fechado - Para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a,b]:
1- Encontre os valores de f nos extremos do intervalo.
2- Encontre os valores de f nos números críticos de f em [a,b].
3- O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.
Agora, aplicando o teorema do intervalo fechado, precisamos calcular .
Note que não será calculado pois este ponto não está dentro do intervalo dado . Então
Então, podemos concluir que a água terá um volume mínimo a temperatura , ou seja, terá uma densidade máxima a essa temperatura e a densidade vale
Resposta
A densidade da água é máxima quando