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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.5 - Ex. 4

Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.

4 .   f x = t g   x ; a = 0 ; n = 3 .

Passo 1

Nesta questão o enunciado não nos fornece muitas informações, somente o que ele quer que encontramos mesmo. Para isso, basta aplicarmos a formula do polinômio de Taylor do enésimo grau apresentada ao longo da Seção. Devemos também utilizar a formula para o cálculo do resto de Lagrange.

O Polinômio de Taylor de enésimo grau da função f no número a é dado por:

P n x = f a + f ´ a 1 ! . x - a + f ´ ´ a 2 ! . x - a 2 + … + f n a n !   . x - a n

Já o resto de Lagrange é dado por :

R n x = f n + 1 ε n + 1 ! . x - a n + 1   o n d e   ε   e s t á   e n t r e   a   e   x  

Passo 2

Sendo assim, para a função dessa questão o polinômio de Taylor ficaria da seguinte forma:

P 3 x = f 0 + f ´ 0 1 ! . x - 0 + f ´ ´ 0 2 ! . x - 0 2 + f 3 0 3 !   . x - 0 3

Agora nos resta calcular a primeira, segunda e terceira derivada aplicada no número a = 0 .

Como f x = t g   x , temos que :

f 0 = t g ( 0 ) = 0

Passo 3

Calculando a primeira derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ x = sec 2 ⁡ x

f ´ 0 = 1

Passo 4

Calculando a segunda derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ ´ x = 2 tan 3 ⁡ x + 2 t a n x

f ´ ´ 0 = 0

Passo 5

Calculando a terceira derivada e aplicando no número a   teremos:

f 3 x = 6 tan 4 ⁡ x + 8 tan 2 ⁡ x + 2

f 3 0 = 2

Passo 6

Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para o polinômio de Taylor desta questão , vem :

P 3 x = 0 + 1 1 ! . x - 0 + 0 2 ! . x - 0 2 + 2 3 !   . x - 0 3

P 3 x = x + 1 3 x 3

Passo 7

Como para o cálculo do resto, necessitamos de f n + 1 ( ε ) , calculemos a quarta derivada da função dada:

f 4 x = 24 tan 5 ⁡ x + 40 tan 3 ⁡ x + 16 t a n x

f 4 ε = 24 tan 5 ⁡ ε + 40 tan 3 ⁡ ε + 16 t a n ε

Passo 8

Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para resto de Lagrange desta questão , vem :

R 3 x = f 4 ε 4 ! . x - 0 4 = 24 tan 5 ⁡ ε + 40 tan 3 ⁡ ε + 16 t a n ε 4 ! . x - 0 4 =

= 1 3 ( 3 tan 5 ⁡ ε + 5 tan 3 ⁡ ε + 2 t a n ε )     ,   c o m   ε   e n t r e   0   e   x

Resposta

P 3 x = x + 1 3 x 3

R 3 x = 1 3 ( 3 tan 5 ⁡ ε + 5 tan 3 ⁡ ε + 2 t a n ε )

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Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
V e r i f i q u e q u e e^x = 1 + x + (1)/(2) x^2 + o ( x^2 )
V e r i f i q u e q u e cos x = (1)/(2) - (x^2)/(2) + o ( x^2 )
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
36. Determine o desenvolvimento de Taylor de P x = x 4 -3 x 2 +x + 1 em potências dea) x - 2 b) x + 1