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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 22

Ache (f^(- 1))^' ( d ) .

f (x) = sec (x)/(2) , 0 <= x < pi ; d = 2

Passo 1

A questão fornece uma função f invertível e pede para acharmos a derivada da inversa em x = d . Por mais estranho que possa parecer, não precisamos achar uma expressão para f^(- 1) para achar sua derivada em um determinado ponto, podemos recorrer ao teorema 7.2.4 apresentado nessa seção do livro.

O teorema basicamente diz que se f (c) = d e f^' (c) != 0 , então

(f^(- 1))^' (d) = (1)/(f ' ( c ))

Desta forma, basta conhecermos a derivada de f em x = c que saberemos a derivada de f^(- 1) em x = d .

Neste caso, temos que f (x) = sec (x)/(2) e d = 2 . O primeiro passo é descobrir c tal que f (c) = d . Assim, temos que

sec (c)/(2) = d = 2 => cos (c)/(2) = (1)/(2) => (c)/(2) = (pi)/(3) => c = (2 pi)/(3)

Passo 2

Agora precisamos achar f ' ( c ) . Derivando f :

f^' (x) = (1)/(2) sec (x)/(2) tan (x)/(2)

Assim,

f^' (c) = f^' ((2 pi)/(3)) = (1)/(2) sec (pi)/(3) tan (pi)/(3) = (1)/(2) * 2 * sqrt(3) = sqrt(3)

Portanto,

(f^(- 1))^' (d) = (f^(- 1))^' (2) = (1)/(f ' ( c )) = (1)/(sqrt(3))

Resposta

(1)/(sqrt(3))

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