Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.1 - Ex. 12
Seja uma função cujo domínio e imagem são intervalos. Prove que se for estritamente crescente (ou estritamente decrescente), então será contínua.
Passo 1
Vamos dizer que e são, respectivamente, o domínio e a imagem de , sendo e intervalos, conforme nossa hipótese.
Seja um ponto de , que não seja extremidade de . Como é estritamente crescente, então também não será extremidade de .
Assim, existe tal que e pertencem ao intervalo , certo?
Passo 2
Agora vamos tomar , com . Teremos e também pertencendo a , ne?
Desse modo, vão existir e em tais que e .
Como é estritamente crescente, teremos, para todo em :
Logo, é contínua em .
Passo 3
Até agora, provamos que é contínua apenas em pontos que não fossem extremidade do intervalo do domínio. Então, suponhamos que seja extremidade, digamos, superior, de .
Nesse caso, existe tal que pertence ao intervalo da imagem.
Então, para todo , com , também teremos pertencendo a .
Ou seja, existirá em tal que , de modo que, se for estritamente crescente, teremos, para todo :
Logo, é contínua em .
E portanto, é contínua em todo o seu domínio .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)