Determine a derivada.

a) y = x arctg x

Passo 1

Beleza, galera? Pra começar, vamos começar derivando usando a regra do produto:

d y d x = x ' a r c t g x + x a r c t g x '

d y d x = a r c t g x + x ( a r c t g x ) '

Passo 2

Agora temos que achar a derivada da função inversa a r c t g x , que é o assunto do capítulo. Bom, pela notação de Leibniz , temos que:

d y d x = 1 d x d y

Vamos pegar uma função y tal que:

y = a r c t g   x

Ou seja,

x = t g   y

Logo,

a r c t g x ' = 1 t g y ' = 1 sec 2 ⁡ y

E partindo da relação fundamental, podemos escrever:

s e n 2 y + cos 2 ⁡ y = 1

Dividindo por cos 2 ⁡ y :

t g 2 y + 1 = sec 2 ⁡ y

E então, substituindo:

a r c t g x ' = 1 1 + t g 2 y

E nós vimos que t g y = x , portanto:

a r c t g x ' = 1 1 + t g 2 y = 1 1 + x 2

Passo 3

Bom pessoal, agora que temos a derivada da função inversa, podemos substituir o valor encontrado na regra do produto exposta no passo anterior. Vai ficar assim:

d y d x = a r c t g x + x a r c t g x '

Substituindo,

d y d x = a r c t g x + x 1 + x 2

Resposta

d y d x = a r c t g x + x 1 + x 2

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