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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.2 - Ex. 1a

Determine a derivada.

a) y = x a r c t g x

Passo 1

Beleza, galera? Pra começar, vamos começar derivando usando a regra do produto:

(d y)/(d x) = (x)^' a r c t g x + x (a r c t g x)^'

(d y)/(d x) = a r c t g x + x ( a r c t g x ) '

Passo 2

Agora temos que achar a derivada da função inversa a r c t g x , que é o assunto do capítulo. Bom, pela notação de Leibniz , temos que:

(d y)/(d x) = (1)/((d x)/(d y))

Vamos pegar uma função y tal que:

y = a r c t g x

Ou seja,

x = t g y

Logo,

(a r c t g x)^' = (1)/((t g y)^') = (1)/(sec^2 y)

E partindo da relação fundamental, podemos escrever:

s e n^2 y + cos^2 y = 1

Dividindo por cos^2 y :

t g^2 y + 1 = sec^2 y

E então, substituindo:

(a r c t g x)^' = (1)/(1 + t g^2 y)

E nós vimos que t g y = x , portanto:

(a r c t g x)^' = (1)/(1 + t g^2 y) = (1)/(1 + x^2)

Passo 3

Bom pessoal, agora que temos a derivada da função inversa, podemos substituir o valor encontrado na regra do produto exposta no passo anterior. Vai ficar assim:

(d y)/(d x) = a r c t g x + x (a r c t g x)^'

Substituindo,

(d y)/(d x) = a r c t g x + (x)/(1 + x^2)

Resposta

(d y)/(d x) = a r c t g x + (x)/(1 + x^2)

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