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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 11

Ache a solução completa da equação diferencial (11) d ² y d x ² = 5 x 2 + 1 .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. Um tipo de equação diferencial é a de segunda ordem, da forma d ² y d x ² = f ( x ) , assim como a equação do nosso exercício! O primeiro passo é escrever essa derivada dupla de uma outra forma.

d 2 y d x 2 = d d x d y d x

O segundo passo é tomar y ' = d y d x e aí reescever a equação diferencial. Vamos fazer isso aplicando no nosso exercício.

d ² y d x ² = d y ' d x = 5 x 2 + 1 d y ' = 5 x 2 + 1 d x ∫ d y ' = ∫ 5 x 2 + 1 d x

Passo 2

Resolvendo a integral temos:

∫ d y ' = ∫ 5 x 2 + 1 d x y ' = 5 x 3 3 + x + K No entanto, y ' = d y d x ! Fazendo essa substituição:

d y d x = 5 x 3 3 + x + K d y = 5 x 3 3 + x + K 1 d x ∫ d y = ∫ 5 x 3 3 + x + K 1 d x

Passo 3

Resolvendo as integrais finais temos:

∫ d y = ∫ 5 x 3 3 + x + K 1 d x y = 5 x 4 3 * 4 + x 2 2 + K 1 x + K 2 y = 5 x 4 12 + x 2 2 + K 1 x + K 2

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

y = 5 x 4 12 + x 2 2 + K 1 x + K 2

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