Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais (17) dy/dx = (cos^3(x))/(sen^2(y)); y = pi/3 quando x = pi/2 .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. O tipo mais simples de equação diferencial é a equação de primeira ordem da forma d y d x = f x f y , assim como a equação do nosso exercício! Escrevendo essaequação com diferenciais, temos

f ( y ) d y = f x d x

Podemos ver que o primeiro membro envolve somente a variável y, enquanto que o segundo membro, somente a variável x. Assim, as variáveis estão separadas e dizemos que elas são equações diferenciais com variáveis separáveis. Como resolver esse tipo de equação? Aplicamos a integração dos dois lados da igualdade!

d y d x = c o s 3 x s e n 2 y s e n 2 y d y = c o s 3 x d x ∫ s e n 2 y d y = ∫ c o s 3 x d x

Passo 2

Resolvendo a integral teremos:

∫ s e n 2 y d y = ∫ c o s 3 x d x - c o s 2 y 2 = s e n 3 x 3 + K

Passo 3

Aplicando as condições inicias na equação encontrada temos:

y π / 2 = π / 3 - c o s ⁡ ( 2 π 3 ) 2 = s e n ( 3 π 2 ) 3 + K - 1 2 * - 1 2 = 1 3 * - 1 + K K = 1 4 + 1 3 K = 7 12

Portanto,

cos ⁡ 2 y = - 2 3 s e n 3 x + 7 12

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

cos ⁡ 2 y = - 2 3 s e n 3 x + 7 12

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