Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 80
80. Encontre uma equação da curva que passe pelo ponto e para a qual a inclinação em qualquer ponto sobre ela seja .
Passo 1
Basicamente o que enunciado pede é que achemos uma curva cuja derivada seja já que a derivada da inclinação em um determinado ponto.
Basicamente o que queremos achar é a função que satisfaça a seguinte equação:
Agora ajeitando um pouquinho essa equação, temos:
Assim podemos ver que a equação é do tipo:
Onde:
Dado essas informações, basta usar o método do teorema 7.8.1 do Capítulo 7, seção 8 do livro.
Passo 2
Começamos achando o fator de integração.
Como , um fator de integração é:
Passo 3
Multiplicando o fator de integração nos dois lados da equação, ficamos com:
Integrando os dois lados, temos:
Passo 4
Para acharmos o valor de C, vamos usar a condição dada no enunciado do ponto que pertence a curva encontrada, o ponto é . Assim:
Substituindo o C encontrado na equação:
Resposta
A curva tem como equação: