80. Encontre uma equação da curva que passe pelo ponto ( 0 , - 1 ) e para a qual a inclinação em qualquer ponto ( x , y ) sobre ela seja cos ⁡ x - yt gx .

A curva tem como equação: y = x - 1 sec ⁡ x

Enunciado

Basicamente o que enunciado pede é que achemos uma curva cuja derivada seja já que a derivada da inclinação em um determinado ponto.

Basicamente o que queremos achar é a função que satisfaça a seguinte equação:

Agora ajeitando um pouquinho essa equação, temos:

Assim podemos ver que a equação é do tipo:

Onde:

Dado essas informações, basta usar o método do teorema 7.8.1 do Capítulo 7, seção 8 do livro.

Começamos achando o fator de integração.

Como , um fator de integração é:

Multiplicando o fator de integração nos dois lados da equação, ficamos com:

Integrando os dois lados, temos:

Para acharmos o valor de C, vamos usar a condição dada no enunciado do ponto que pertence a curva encontrada, o ponto é . Assim:

Substituindo o C encontrado na equação:

A curva tem como equação: