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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 21

Ache uma solução da equação diferencial que satisfaça a condição dada.

d y d x = 1 + 2 y cotg ⁡ x ;

y = 2 quando x = 1 4 π .

Passo 1

Arrumando a equação diferencial dessa forma:

d y d x - 2 y cotg ⁡ x = 1

podemos ver que ela é de primeira ordem em y , pois está na forma:

d y d x + P x y = Q ( x )

Com P x = - 2 cotg ⁡ x e Q x = 1 . O fator integrante pelo qual devemos multiplicar a equação para facilitar a integração é então e ∫ P x d x .

Passo 2

Calculamos então o fator de integração:

∫ P x d x = ∫ - 2 cotg ⁡ x d x = ∫ - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x d x = - 2 ∫ d sen ⁡ x sen ⁡ x = - 2 ln ⁡ sen ⁡ x + k

e - 2 ln ⁡ sen ⁡ x = e ln ⁡ sen ⁡ x - 2 = sen - 2 ⁡ x = 1 sen 2 ⁡ x

Multilicamos então a equação por 1 sen 2 ⁡ x :

1 sen 2 ⁡ x d y d x - 2 1 sen 2 ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x   y   = 1 sen 2 ⁡ x ⇒ 1 sen 2 ⁡ x d y d x - 2 cos ⁡ x sen 3 ⁡ x   y = 1 sen 2 ⁡ x

Passo 3

Pelas propriedades de derivação, lembramos que u v ' = u ' v + u v ' . Sabemos que 1 sen 2 ⁡ x ' = - 2 sen 3 ⁡ x ⋅ cos ⁡ x = - 2 cos ⁡ x sen 3 ⁡ x . Então temos:

1 sen 2 ⁡ x ⋅ y ' + 1 sen 2 ⁡ x ' y = 1 sen 2 ⁡ x ⇒ 1 sen 2 ⁡ x y ' = d y sen 2 ⁡ x d x = 1 sen 2 ⁡ x

Passo 4

Agora podemos integrar os dois lados:

∫ d y sen 2 ⁡ x = ∫ 1 sen 2 ⁡ x d x = ∫ csc 2 ⁡ x d x

⇒ y sen 2 ⁡ x = - cotg ⁡ x + C ⇒ y = - cos ⁡ x sen ⁡ x ⋅ sen 2 ⁡ x + C sen 2 ⁡ x ⇒ y = - sen ⁡ x cos ⁡ x + C sen 2 ⁡ x

Pelo enunciado. y 1 4 π = 2 :

2 = - sen ⁡ 1 4 π cos ⁡ 1 4 π + C sen 2 ⁡ 1 4 π = - 2 2 ⋅ 2 2 + C 2 2 2 = - 2 4 + 2 C 4 = C - 1 2

C - 1 2 = 2 ⇒ C - 1 = 4 ⇒ C = 5 ⇒ y = - sen ⁡ x cos ⁡ x + 5 sen 2 ⁡ x

Resposta

y = - sen ⁡ x cos ⁡ x + 5 sen 2 ⁡ x

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