Enunciado

Ache a soma:

sum_(i = 1)^(41) ( root(3)(3 i - 1) - root(3)(3 i + 2) )

Passo 1

Quando temos questões de somatório envolvendo subtrações, é sempre útil checar se há alguma relação entre as parcelas para descobrir se os fatores de cada soma irão se cancelar. Podemos ver que se f (i) = root(3)(3 i - 1) , o próximo termo será f (i + 1) = root(3)(3 (i + 1) - 1) = root(3)(3 i + 3 - 1) = root(3)(3 i + 2) . Isso tornará o problema mais fácil de ser resolvido.

Passo 2

Podemos então escrever a soma da seguinte forma:

sum_(i = 1)^(41) (root(3)(3 i - 1) - root(3)(3 i + 2)) = sum_(i = 1)^(41) root(3)(3 i - 1) - sum_(i = 1)^(41) root(3)(3 i + 2)

= sum_(i = 1)^(41) f ( i ) - sum_(i = 1)^(41) f (i + 1) = [f (1) + f (2) + ... + f (41)] - [ f (2) + f (3) + ... + f (42) ]

= f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (41) - f (2) - f (3) - ... - f (41) - f ( 42 )

Todos os termos de f ( 2 ) a f ( 41 ) irão se cancelar. Sobrará então:

f (1) - f (42) = root(3)(3 * 1 - 1) - root(3)(3 * 42 - 1) = root(3)(3) - root(3)(125) = root(3)(3) - 5

Resposta

sum_(i = 1)^(41) (root(3)(3 i - 1) - root(3)(3 i + 2)) = root(3)(3) - 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios de 29 a 38, calcule a integral definida usando o segundo teorema fundamental do Cálculo. ∫ 0 π 2 tan 2 ⁡ 1 2 x + sec 2 ⁡ 1 2 x d x
Nos exercícios de 29 a 38, calcule a integral definida, usando o segundo teorema fundamental do cálculo.
Nos Exercícios de 29 a 38, calcule a integral definida usando o segundo teorema fundamental do Cálculo. ∫ π 6 π 3 1 - cos ⁡ α csc 2 ⁡ α d α
Nos exercícios de 29 a 38, calcule a integral definida, usando o segundo teorema fundamental do cálculo.
Parece que podemos integrar 2 sin ⁡ x cos ⁡ x em relação a x de três maneiras diferentes: ∫ 2 sin ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ 2 u d u = u 2 + C 1 = sin 2 ⁡ x + C 1 ∫ 2 sin ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ - 2 u d u = - u