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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 37

Nos Exercícios de 29 a 38, calcule a integral definida usando o segundo teorema fundamental do Cálculo.

∫ 0 π 2 tan 2 ⁡ 1 2 x + sec 2 ⁡ 1 2 x d x

Passo 1

O primeiro passo é relembrar o segundo teorema fundamental do cálculo. Segundo ele:

Se

g ' x = f ( x )

Então

∫ b a f x d x = g a - g ( b )

Passo 2

Agora, vamos achar a função g ( x ) , ou seja, aquela cuja derivada resulta na função f ( x ) . Para isso, vamos resolver a integral indefinida:

g x = ∫ tan 2 ⁡ 1 2 x + sec 2 ⁡ 1 2 x d x

Lembre-se da relação trigonométrica:

g x = tan 2 ⁡ 1 2 x + 1 = sec 2 ⁡ 1 2 x

Portanto, a integral pode ser reescrita:

g x = ∫ - 1 + 2 sec 2 ⁡ 1 2 x d x

g x = ∫ - 1 d x + 2 ∫ sec 2 ⁡ 1 2 x d x

g x = - x + 2 ( 2 tan ⁡ 1 2 x ) + C

Passo 3

Finalmente, basta substituir os valores do limite de integração na função obtida:

g x = - x + 2 ( 2 tan ⁡ 1 2 x ) + C

g π 2 - g 0 = - π 2 - - 0 + 4 [ tan ⁡ π 4 - tan ⁡ 0 ]

g π 2 - g 0 = - π 2 + 4 [ 1 - 0 ]

g π 2 - g 0 = 4 - π 2

Resposta

Logo, o resultado da integral definida é dada por:

∫ 0 π 2 tan 2 ⁡ 1 2 x + sec 2 ⁡ 1 2 x d x = 4 - π 2

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