Enunciado

101. Ache um valor aproximado da seguinte integral , até 3 casa decimais , por dois métodos: (a) use a regra do trapézio com n = 4; (b) use a regra de Simpson com n = 4:

∫ 1 / 10 1 / 2 c o s x x d x

Passo 1

O que o enunciado nos pede é para utilizarmos uma regra já definida anteriormente na resolução de uma integral. A regra do trapézio definida no Teorema 5.10.1 nos diz que se a função f for contínua no intervalo fechado [a,b] e os números a = x0, x1, x2,..., xn=b formarem uma partição regular de [a,b] , então:

∫ a b f x d x   ≈ b - a 2 n [ f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + … + 2 f x n - 1 + f x n ]  

Ele também nos pede para utilizarmos uma outra regra já definida anteriormente na resolução de uma integral. A regra de Simpson definida no Teorema 5.10.4 nos diz que se a função f for contínua no intervalo fechado [a,b], n for um inteiro par e os números a = x0, x1, x2,..., xn=b formarem uma partição regular de [a,b] , então:

∫ a b f x d x   ≈ b - a 3 n [ f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + 2 f x 4 … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n ]  

Passo 2

Letra (a)

Utilizando a regra do trapézio, vem:

[a,b] = [1/10 , 1/2] e n =4

∆ x = 1 2 - 1 10 4 = 0,1

∫ 1 10 1 2 c o s x x d x ≈ 1 2 - 1 10 2.4 f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + 2 f x 3 + f x 4    

≈   0,05 9,999 + 2 . 4,999 + 2 . 3,333 + 2 . 2,499 + 1,999

≈ 1,683

Passo 3

Letra (b)

Utilizando a regra de Simpson , vem:

[a,b] = [1/10 , 1/2] e n =4

∆ x = 1 2 - 1 10 4 = 0,1

∫ 1 10 1 2 c o s x x d x ≈ 1 2 - 1 10 3 . 4 f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + f x 4    

≈   0,03 9,999 + 4 . 4,999 + 2 . 3,333 + 4 . 2,499 + 1,999

≈ 1,622

Resposta

Letra (a)

∫ 1 10 1 2 c o s x x d x = 1,683

Letra (b)

∫ 1 / 10 1 / 2 c o s x x d x = 1,622

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sua empresa de engenharia está tentando fechar contrato para a construção de um túnel, como o que mostra a figura a seguir. O túnel tem 300p é s é de comprimento por 50p é s é de largura na base. Sua
Uma piscina retangular tem 30p é s é de largura e 50p é s é de comprimento. A tabela a seguir mostra a profundidade h(x) da água em intervalos de 5p é s é de uma extremidade da piscina até a outra. Es
Prove que a soma T na regra do trapézio para ∫ a b f x d x é uma soma de Riemann para f contínua em [ a ,b ] . Dica: use o teorema do valor intermediário para mostrar a existência de c k no subinterva
Use a regra ⅓ de Simpson para integrar a função abaixo entre 0 e 2 com o menor esforço computacional possível(menor número de divisões e maior precisão). Justifique. Trabalhe com três casas decimais.
Determinar b, a distância entre x i e x i + 1 para que se possa avaliar ∫ 0 π / 2 c o s ( x ) d x com erro inferior a 1 0 - 3 pela regra de Simpson.