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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.5 - Ex. 4

Ache a soma de Riemann para a função no intervalo, usando a partição Δ das e os valores de ξ i dados. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo dado e mostre os retângulos cujas medidas de área são os termos da soma de Riemann.

f x = x 3 ,   - 1 ≤ x ≤ 2 ;

Para Δ :

x 0 = - 1 ,   x 1 = - 1 3 , x 2 = 1 2 ,   x 3 = 1 , x 4 = 1 + 1 4 , x 5 = 2 ;

ξ 1 = - 1 2 , ξ 2 = 0 , ξ 3 = 2 3 , ξ 4 = 1 , ξ 5 = 1 + 1 2

Passo 1

Devemos então montar a soma de Riemann com esses valores e esboçar um gráfico disso.

Lembrando que Δ x é a largura de cada retângulo e f ( ξ ) seria a altura de cada um deles, sendo

Δ i x = x i - x i - 1

A figura mostra um esboço do gráfico de f em - 1,2 e os cinco retângulos cujas áreas são os termos da soma de Riemann.

Passo 2

Agora devemos montar a soma de Riemann

∑ i = 1 5 f ξ i Δ i x = f ξ 1 Δ 1 x + f ξ 2 Δ 2 x + f ξ 3 Δ 3 x + f ξ 4 Δ 4 + f ξ 5 Δ 5 x

= f - 1 2 - 1 3 - - 1 + f 0 1 2 - - 1 3 + f 2 3 1 - 1 2 + f 1 1,25 - 1 + f 1,5 2 - 1,25

= - 1 3 3 * 0,6667 + 0 3 * 0,8333 + 2 3 3 * 0,5 + 1 3 * 0,25 + 1,5 3 * 0,75  

Resposta

Dessa maneira, o valor da soma de Riemann é:

∑ i = 1 5 f ξ i Δ i x = 2,9047

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