Enunciado

Ache a soma de Riemann para a função no intervalo, usando a partição Δ das e os valores de ξ i dados. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo dado e mostre os retângulos cujas medidas de área são os termos da soma de Riemann.

f x = 1 x ,   1 ≤ x ≤ 3 ;

Para Δ :

x 0 = 1 ,   x 1 = 1 + 2 3 , x 2 = 2 + 1 4 ,   x 3 = 2 + 2 3 , x 4 = 3 ;

ξ 1 = 1 + 1 4 , ξ 2 = 2 , ξ 3 = 2 + 1 2 , ξ 4 = 2 + 2 3

Passo 1

Devemos então montar a soma de Riemann com esses valores e esboçar um gráfico disso.

Lembrando que Δ x é a largura de cada retângulo e f ( ξ ) seria a altura de cada um deles, sendo

Δ i x = x i - x i - 1

A figura mostra um esboço do gráfico de f em 1,3 e os quatro retângulos cujas áreas são os termos da soma de Riemann.

Passo 2

Agora devemos montar a soma de Riemann

∑ i = 1 4 f ξ i Δ i x = f ξ 1 Δ 1 x + f ξ 2 Δ 2 x + f ξ 3 Δ 3 x + f ξ 4 Δ 4 x

= f 1,25 5 3 - 1 + f 2 9 4 - 5 3 + f 2,5 8 3 - 5 4 + f 8 3 3 - 8 3

= 1 1,25 * 0,6667 + 1 2 * 0,5833 + 1 2,5 * 0,4155 + 3 8 * 0,3333

Resposta

Dessa maneira, o valor da soma de Riemann é:

∑ i = 1 4 f ξ i Δ i x = 1,1162

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