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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.5 - Ex. 2

Ache a soma de Riemann para a função no intervalo, usando a partição Δ das e os valores de ξ i dados. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo dado e mostre os retângulos cujas medidas de área são os termos da soma de Riemann.

f x = x 2 ,   0 ≤ x ≤ 3 ;

Para Δ :

x 0 = 0 ,   x 1 = 3 4 , x 2 = 1 + 1 4 ,   x 3 = 2 , x 4 = 2 + 3 4 , x 5 = 3 ;

ξ 1 = 1 2 , ξ 2 = 1 , ξ 3 = 1 + 3 4 , ξ 4 = 2 + 1 4 , ξ 5 = 2 + 3 4

Passo 1

Devemos então montar a soma de Riemann com esses valores e esboçar um gráfico disso.

Lembrando que Δ x é a largura de cada retângulo e f ( ξ ) seria a altura de cada um deles, sendo

Δ i x = x i - x i - 1

A figura mostra um esboço do gráfico de f em 0,3 e os cinco retângulos cujas áreas são os termos da soma de Riemann.

Passo 2

Agora devemos montar a soma de Riemann

∑ i = 1 5 f ξ i Δ i x = f ξ 1 Δ 1 x + f ξ 2 Δ 2 x + f ξ 3 Δ 3 x + f ξ 4 Δ 4 x + f ξ 5 Δ 5 x

= f 0,5 0,75 - 0 + f 1 1,25 - 0,75 + f 1,75 2 - 1,25 + f 2,25 2,75 - 2 + f 2,75 3 - 2,75

= 0,5 2 * 0,75 + 1 2 * 0,5 + 1,75 2 * 0,75 + 2,25 2 * 0,75 +   2,75 2 * 0,25

Resposta

Dessa maneira, o valor da soma de Riemann é:

∑ i = 1 5 f ξ i Δ i x = 8,6179

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