Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 58
Provar por indução matemática:
Passo 1
Parte 1:
Primeiro vamos verificar a validade para n =1
Se n=1, então o primeiro membro da fórmula será:
e, do outro lado,
Desse modo, a fórmula é válida quando n = 1
Passo 2
Parte 2:
Vamos supor que a fórmula seja válida pra n = k, onde k é um inteiro positivo:
Chamaremos esta equação de equação (1) para referências futuras.
Queremos provar que a fórmula também é válida quando n = k + 1, ou seja:
(equação 2)
Quando n = k + 1, temos:
Aplicando a equação (1):
Em equações muito extensas como é essa às vezes é complicado enxergar as propriedades que devemos aplicar na equação. Como nosso objetivo é apenas constatar se esta equação que encontramos é igual à equação 2, podemos apenas aplicar as propriedades distributivas para expandi-la e encontrar:
Fazendo o mesmo com a equação (2):
Ou seja, as equações são iguais.
Passo 3
Conclusão: da parte 1 sabemos que a Fórmula é válida para n = 1. Por isso, segue da parte 2 que ela é válida para n = 1 + 1, ou 2; como é válida para n = 2, é também válida para n = 2 + 1, ou 3; e assim por diante. Pelo princípio da indução matemática, a fórmula é válida para todos os valores inteiros positivos de n.
Resposta
Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta