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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.5 - Ex. 10

Ache o valor exato da integral definida usando a relação entre soma de Riemann e integral definida.

∫ 2 7 3 x   d x

Passo 1

A relação entre integral definida e soma de Riemann pedida pelo problema é a seguinte:

∫ a b f x d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ξ i Δ x

Chamaremos de “equação (1)” para invoca-la no futuro. 😉

Temos uma integral definida, ou seja, uma integral em que conhecemos os limites de integração a e b . Iremos então realizar nossos cálculos dentro desses limites, no intervalo [ 2,7 ] .

Considerando n subintervalos, então:

Δ x = b - a n = 7 - 2 n = 5 n

Passo 2

Se escolhermos ξ i como o extremo direito de cada subintervalo, teremos:

ξ i = a + i Δ x

Então:

ξ 1 = 2 + 5 n ,   ξ 2 = 2 + 2 5 n ,   ξ 3 = 2 + 3 5 n , … ,   ξ i = 2 + i 5 n , … , ξ n = 2 + n 5 n

Como f x = 3 x ,

f ξ i = 3 2 + 5 i n = 6 + 15 i n

Passo 3

Logo, usando a equação (1) e aplicando as propriedades de somatório, teremos:

∫ 2 7 3 x   d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 6 + 15 i n 5 n

= lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 6 + 15 i n 5 n

Como n é uma constante, 5 n pode sair do somatório multiplicando.

= lim n → + ∞ 5 n ⁡ ∑ i = 1 n 6 + 15 i n

= lim n → + ∞ 5 n ⁡ ∑ i = 1 n 6 + ∑ i = 1 n 15 i n  

= lim n → + ∞ 5 n ⁡ ∑ i = 1 n 6 + 15 n ∑ i = 1 n i  

Lembrando que

∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2

Teremos:

= lim n → + ∞ 5 n ⁡ 6 n + 15 n n ( n + 1 ) 2  

= lim n → + ∞ 5 n ⁡ 6 n + 15 n 2 + 15 2  

= lim n → + ∞ ⁡ 30 + 7 5 2 + 75 2 n  

Aplicando o limite:

= lim n → + ∞ ⁡ 30 + 75 2 + 0  

Resposta

Dessa maneira, o valor da integral definida é:

∫ 2 7 3 x   d x = 67 , 5

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e)int root(5)(x^2) d x
d)int sqrt(x) d x
c)int x^5 d x
s)int ((3)/(x) + (2)/(x^3)) d x
r)int (e^(4 x) + (1)/(x^2)) d x