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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.5 - Ex. 16

Ache o valor exato da integral definida usando a relação entre soma de Riemann e integral definida.

∫ 0 4 ( x 2 + x - 6 )   d x

Passo 1

A relação entre integral definida e soma de Riemann pedida pelo problema é a seguinte:

∫ a b f x d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ξ i Δ x

Chamaremos de “equação (1)” para invoca-la no futuro. 😉

Temos uma integral definida, ou seja, uma integral em que conhecemos os limites de integração a e b . Iremos então realizar nossos cálculos dentro desses limites, no intervalo [ 0 , 4 ] .

Considerando n subintervalos, então:

Δ x = b - a n = 4 - 0 n = 4 n

Passo 2

Se escolhermos ξ i como o extremo direito de cada subintervalo, teremos:

ξ i = a + i Δ x

Então:

ξ 1 = 0 + 4 n ,   ξ 2 = 0 + 2 4 n ,   ξ 3 = 0 + 3 4 n , … ,   ξ i = 0 + i 4 n , … , ξ n = 0 + n 4 n

Como f x = ( x 2 + x - 6 ) ,

f ξ i = 4 i n 2 + 4 i n - 6   = 16 i 2 n 2 + 4 i n - 6

Passo 3

Logo, usando a equação (1) e aplicando as propriedades de somatório, teremos:

∫ 0 4 ( x 2 + x - 6 )   d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 16 i 2 n 2 + 4 i n - 6 4 n

= lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 64 i 2 n 3 + 16 i n 2 - 24 n

= l i m n → + ∞ ∑ i = 1 n 64 i 2 n 3 + ∑ i = 1 n 16 i n 2 - ∑ i = 1 n 24 n

Como n é uma constante, pode sair do somatório multiplicando.

= l i m n → + ∞ 64 n 3 ∑ i = 1 n i 2 + 16 n 2 ∑ i = 1 n i   - 24 n ∑ i = 1 n 1

Lembrando que:

∑ i = 1 n i 2 = n n + 1 2 n + 1 6

∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2

Teremos:

= l i m n → + ∞ 64 n 3   n n + 1 2 n + 1 6 + 16 n 2 n ( n + 1 ) 2 - 24 n n

Expandindo a equação:

= lim n → + ∞ ⁡ 64 3 + 32 n + 32 3 n 2 + 8 + 8 n - 24

= l i m n → + ∞ 16 3 + 40 n + 32 3 n 2

Aplicando o limite:

= lim n → + ∞ ⁡ 16 3 + 0 + 0  

Resposta

Dessa maneira, o valor da integral definida é:

∫ 0 4 ( x 2 + x - 6 )   d x = 5,3333

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g)∫ 1 x 3 d x
f)∫ x - 4 d x
l)∫ x + 1 x d x
n)∫ e 5 x d x
a)∫ 0 1 e 2 x d x