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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.5 - Ex. 5

Ache a soma de Riemann para a função no intervalo, usando a partição Δ das e os valores de ξ i dados. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo dado e mostre os retângulos cujas medidas de área são os termos da soma de Riemann.

f x = ( x 2 - x + 1 ) ,     0 ≤ x ≤ 1 ;

Para Δ :

x 0 = 0 ,   x 1 = 0,2 , x 2 = 0,5 ,   x 3 = 0,7 , x 4 = 1 ;

ξ 1 = 0,1 , ξ 2 = 0,4 , ξ 3 = 0,6 , ξ 4 = 0,9

Passo 1

Devemos então montar a soma de Riemann com esses valores e esboçar um gráfico disso.

Lembrando que Δ x é a largura de cada retângulo e f ( ξ ) seria a altura de cada um deles, sendo

Δ i x = x i - x i - 1

A figura mostra um esboço do gráfico de f em 0,1 e os quatro retângulos cujas áreas são os termos da soma de Riemann.

Passo 2

Agora devemos montar a soma de Riemann

∑ i = 1 4 f ξ i Δ i x = f ξ 1 Δ 1 x + f ξ 2 Δ 2 x + f ξ 3 Δ 3 x + f ξ 4 Δ 4 x

= f 0,1 0,2 - 0 + f 0,4 0,5 - 0,2 + f 0,6 0,7 - 0,5 + f 0,9 1 - 0,7

= ( 0,1 2 - 0,1 + 1 ) * 0,2 + ( 0,4 2 - 0,4 + 1 ) * 0,3 + ( 0,6 2 - 0,6 + 1 ) * 0,2 + ( 0,9 2 - 0,9 + 1 ) * 0,3

Resposta

Dessa maneira, o valor da soma de Riemann é:

∑ i = 1 4 f ξ i Δ i x = 0,835

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Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado: lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n e x i 1 + x i ∆ x ,[ 0,1 ]
Aproxime a integral a um limite pela soma de Reimann, não resolva o limite. ∫ 1 3 4 + x 2 d x
Use a soma de Reimann para f x = 1 x ,1 ≤ x ≤ 2 , comn = 4 , utilizando pontos finais.Agora repita, mas utilizando pontos médios.
Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral. ∫ - 1 5 1 + 3 x d x
Aproxime a integral a um limite pela soma de Reimann, não resolva o limite. ∫ 2 5 x 2 + 1 x d x