3. Calcule e verifique sua resposta por derivação

m )   ∫ cos ⁡ 3 x + 1 2 sin ⁡ 4 x   d x

Passo 1

Vamos separar essa integral em duas, isso por conta de termos uma soma

∫ cos ⁡ 3 x   d x +   ∫ 1 2 sin ⁡ 4 x   d x  

Passo 2

Vemos, agora, que estamos diante de duas primitivas imediatas dadas por ∫ cos ⁡ α x   d x = 1 α sin ⁡ α x + k e ∫ sin ⁡ α x   d x =   - 1 α cos ⁡ α x + k , onde k é uma constante. Logo,

∫ cos ⁡ 3 x   d x + 1 2 ∫ sin ⁡ 4 x   d x   = 1 3 sin ⁡ 3 x - 1 4 * 1 2 cos ⁡ 4 x + k = 1 3 sin ⁡ 3 x - 1 8 cos ⁡ 4 x + k  

Passo 3

Lembrando que as derivadas de cosseno e seno são dadas por ( cos ⁡ u ) ' = - u ' sin ⁡ u e ( sin ⁡ u ) ' = u ' cos ⁡ u   .

1 3 sin ⁡ 3 x - 1 8 cos ⁡ 4 x + k ' =   3 1 3 cos ⁡ 3 x - - 4 1 8 sin ⁡ 4 x + 0 = cos ⁡ 3 x + 1 2 sin ⁡ 4 x    

Ou seja, a integração está correta

Resposta

Portanto, a resposta é

∫ cos ⁡ 3 x + 1 2 sin ⁡ 4 x   d x =   1 3 sin ⁡ 3 x - 1 8 cos ⁡ 4 x + k  

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