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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 3m

3. Calcule e verifique sua resposta por derivação

m ) int (cos 3 x + (1)/(2) sin 4 x) d x

Passo 1

Vamos separar essa integral em duas, isso por conta de termos uma soma

int cos 3 x d x + int (1)/(2) sin 4 x d x

Passo 2

Vemos, agora, que estamos diante de duas primitivas imediatas dadas por int cos alpha x d x = (1)/(alpha) sin alpha x + k e int sin alpha x d x = - (1)/(alpha) cos alpha x + k , onde k é uma constante. Logo,

int cos 3 x d x + (1)/(2) int sin 4 x d x = (1)/(3) sin 3 x - (1)/(4) * (1)/(2) cos 4 x + k = (1)/(3) sin 3 x - (1)/(8) cos 4 x + k

Passo 3

Lembrando que as derivadas de cosseno e seno são dadas por ( cos u ) ' = - u ' sin u e ( sin u ) ' = u^' cos u .

((1)/(3) sin 3 x - (1)/(8) cos 4 x + k)^' = 3 (1)/(3) cos 3 x - (- 4 (1)/(8) sin 4 x) + 0 = cos 3 x + (1)/(2) sin 4 x

Ou seja, a integração está correta

Resposta

Portanto, a resposta é

int (cos 3 x + (1)/(2) sin 4 x) d x = (1)/(3) sin 3 x - (1)/(8) cos 4 x + k

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h)int (x + x^2)/(x^2) d x
n)∫ e 2 x d x
j)∫ x 2 + 3 x d x
a)int 3 d x
p)int ( e^(2 x) + e^(- x) ) d x