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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 3n

3. Calcule e verifique sua resposta por derivação.

n )   ∫ 1 3 sin ⁡ 2 x + 1 2 cos ⁡ 3 x d x

Passo 1

Vamos dividir essa integral em duas, pois temos uma soma

∫ 1 3 sin ⁡ 2 x   d x +   ∫ 1 2 cos ⁡ 3 x   d x

Passo 2

Podemos perceber que as duas integrais são primitivas imediatas definidas por ∫ sin ⁡ α x   d x =   - 1 α cos ⁡ α x + k e ∫ cos ⁡ α x   d x = 1 α sin ⁡ α x + k . Então,

∫ 1 3 sin ⁡ 2 x   d x +   ∫ 1 2 cos ⁡ 3 x   d x =   - 1 2 * 1 3 cos ⁡ 2 x + 1 3 * 1 2 sin ⁡ 3 x + k =   - 1 6 cos ⁡ 2 x + 1 6 sin ⁡ 3 x + k

Ou seja, a integração está correta

Passo 3

Agora vamos verificar derivando o resultado. Lembrando que as derivadas de cosseno e seno são ( cos ⁡ u ) ' = - u ' sin ⁡ u e ( sin ⁡ u ) ' = u ' cos ⁡ u   . Logo,

- 1 6 cos ⁡ 2 x + 1 6 sin ⁡ 3 x + k ' = - - 2 1 6 sin ⁡ 2 x   + 3 1 6 cos ⁡ 3 x + 0 = 1 3 sin ⁡ 2 x + 1 2 cos ⁡ 3 x  

Assim, confirmamos o resultado da integração

Resposta

Portanto, a resposta de integral é

∫ 1 3 sin ⁡ 2 x + 1 2 cos ⁡ 3 x d x =   - 1 6 cos ⁡ 2 x + 1 6 sin ⁡ 3 x + k

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c)∫ x 5 d x
s)∫ 3 x + 2 x 3 d x
r)∫ e 4 x + 1 x 2d x
o)∫ e - 2 x d x
m)∫ ( e x + 4 ) d x