Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.5 - Ex. 15
Ache o valor exato da integral definida usando a relação entre soma de Riemann e integral definida.
Passo 1
A relação entre integral definida e soma de Riemann pedida pelo problema é a seguinte:
Chamaremos de “equação (1)” para invoca-la no futuro. 😉
Temos uma integral definida, ou seja, uma integral em que conhecemos os limites de integração e . Iremos então realizar nossos cálculos dentro desses limites, no intervalo .
Considerando subintervalos, então:
Passo 2
Se escolhermos como o extremo direito de cada subintervalo, teremos:
Então:
Como
Passo 3
Logo, usando a equação (1) e aplicando as propriedades de somatório, teremos:
Como é uma constante, pode sair do somatório multiplicando.
Lembrando que:
Teremos:
Expandindo a equação:
Aplicando o limite:
Resposta
Dessa maneira, o valor da integral definida é: