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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.5 - Ex. 15

Ache o valor exato da integral definida usando a relação entre soma de Riemann e integral definida.

∫ 1 4 ( x 2 + 4 x + 5 )   d x

Passo 1

A relação entre integral definida e soma de Riemann pedida pelo problema é a seguinte:

∫ a b f x d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ξ i Δ x

Chamaremos de “equação (1)” para invoca-la no futuro. 😉

Temos uma integral definida, ou seja, uma integral em que conhecemos os limites de integração a e b . Iremos então realizar nossos cálculos dentro desses limites, no intervalo [ 1 , 4 ] .

Considerando n subintervalos, então:

Δ x = b - a n = 4 - 1 n = 3 n

Passo 2

Se escolhermos ξ i como o extremo direito de cada subintervalo, teremos:

ξ i = a + i Δ x

Então:

ξ 1 = 1 + 3 n ,   ξ 2 = 1 + 2 3 n ,   ξ 3 = 1 + 3 3 n , … ,   ξ i = 1 + i 3 n , … , ξ n = 1 + n 3 n

Como f x = ( x 2 + 4 x + 5 ) ,

f ξ i = 1 + 3 i n 2 + 4 1 + 3 i n + 5   = 1 + 6 i n + 9 i 2 n 2 + 4 + 12 i n + 5 = 9 i 2 n 2 + 18 i n + 10

Passo 3

Logo, usando a equação (1) e aplicando as propriedades de somatório, teremos:

∫ 1 4 ( x 2 + 4 x + 5 )   d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 9 i 2 n 2 + 18 i n + 10 3 n

= lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 27 i 2 n 3 + 54 i n 2 + 3 0 n

= l i m n → + ∞ ∑ i = 1 n 27 i 2 n 3 + ∑ i = 1 n 54 i n 2 + ∑ i = 1 n 30 n

Como n é uma constante, pode sair do somatório multiplicando.

= l i m n → + ∞ 27 n 3 ∑ i = 1 n i 2 + 54 n 2 ∑ i = 1 n i   + 30 n ∑ i = 1 n 1

Lembrando que:

∑ i = 1 n i 2 = n n + 1 2 n + 1 6

∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2

Teremos:

= l i m n → + ∞ 27 n 3   n n + 1 2 n + 1 6 + 54 n 2 n ( n + 1 ) 2 + 30 n n

Expandindo a equação:

= lim n → + ∞ ⁡ 9 + 27 2 n + 9 2 n 2 + 27 + 27 n + 30

= l i m n → + ∞ 9 2 n 2 + 81 2 n + 66

Aplicando o limite:

= lim n → + ∞ ⁡ 0 + 0 + 66  

Resposta

Dessa maneira, o valor da integral definida é:

∫ 1 4 ( x 2 + 4 x + 5 )   d x = 66

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