Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 3i

3. Calcule e verifique sua resposta por derivação

i ) int (x + (1)/(5) cos 3 x) d x

Passo 1

Vamos separar essa integral em duas, pois se trata de uma subtração de termos. Assim,

int x d x + int (1)/(5) cos 3 x d x

Passo 2

Sabendo que ambas são primitivas imediatas e que a primeira integral se trata de um polinômio, temos a primitiva imediata dada por int x^(alpha) d x = (x^(alpha + 1))/(alpha + 1) , sendo c e k constantes. Enquanto que a segunda integral é da função cosseno, com primitiva imediata dada int cos alpha x d x = (1)/(alpha) sin alpha x + k , sendo k uma constante. Logo,

int x d x + int (1)/(5) cos 3 x d x = (1)/(2) x^2 + (1)/(3) * (1)/(5) sin 3 x + k = (1)/(2) x^2 + (1)/(15) sin 3 x + k

Passo 3

Vamos derivar o resultado que obtivemos para conferir se a integral está correta. Para isso, precisamos lembrar que a derivada de um polinômio é dada por ( x^(alpha) ) ' = alpha x^(alpha - 1) e que ( sin u ) ' = u^' cos u . Então,

((1)/(2) x^2 + (1)/(15) sin 3 x + k)^' = 2 (1)/(2) x + 3 (1)/(15) cos 3 x + 0 = x + (1)/(5) cos 3 x

Ou seja, a integração está correta

Resposta

Portanto, o resultado a integração é

int (x + (1)/(5) cos 3 x) d x = (1)/(2) x^2 + (1)/(15) sin 3 x + k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

6. Calculeb ) int cos^2 5 x d x
6. Calculef ) int ((1)/(2) + (cos 2 x)/(2))^2 d x
7. Calculea ) int_0^((pi)/(8)) cos^2 x d x
7. Calculed ) int_0^((pi)/(2)) cos^4 x d x
5. a) Verifique que sin^2 x = (1)/(2) - (1)/(2) cos 2 x