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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.5 - Ex. 14

Ache o valor exato da integral definida usando a relação entre soma de Riemann e integral definida.

∫ 0 5 ( x 3 - 1 )   d x

Passo 1

A relação entre integral definida e soma de Riemann pedida pelo problema é a seguinte:

∫ a b f x d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ξ i Δ x

Chamaremos de “equação (1)” para invoca-la no futuro. 😉

Temos uma integral definida, ou seja, uma integral em que conhecemos os limites de integração a e b . Iremos então realizar nossos cálculos dentro desses limites, no intervalo [ 0 , 5 ] .

Considerando n subintervalos, então:

Δ x = b - a n = 5 - 0 n = 5 n

Passo 2

Se escolhermos ξ i como o extremo direito de cada subintervalo, teremos:

ξ i = a + i Δ x

Então:

ξ 1 = 0 + 5 n ,   ξ 2 = 0 + 2 5 n ,   ξ 3 = 0 + 3 5 n , … ,   ξ i = 0 + i 5 n , … , ξ n = 0 + n 5 n

Como f x = ( x 3 - 1 ) ,

f ξ i = 5 i n 3 - 1   = 125 i 3 n 3 - 1

Passo 3

Logo, usando a equação (1) e aplicando as propriedades de somatório, teremos:

∫ 0 5 ( x 3 - 1 )   d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 125 i 3 n 3 - 1 5 n

= lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 6 25 i 3 n 4 - 5 n

= l i m n → + ∞ ∑ i = 1 n 625 i 3 n 4 - ∑ i = 1 n 5 n

Como n é uma constante, pode sair do somatório multiplicando.

= l i m n → + ∞ 625 n 4 ∑ i = 1 n i 3 - 5 n ∑ i = 1 n 1  

Lembrando que:

∑ i = 1 n i 3 = n 2 n + 1 2 4

Teremos:

= l i m n → + ∞ 625 n 4 n 2 n + 1 2 4 - 5 n n  

Expandindo a equação:

= lim n → + ∞ ⁡ 625 4 + 625 2 n + 625 4 n 2 - 5

= l i m n → + ∞ 6 0 5 4 + 625 2 n + 625 4 n 2

Aplicando o limite:

= lim n → + ∞ ⁡ 605 4 + 0 + 0  

Resposta

Dessa maneira, o valor da integral definida é:

∫ 0 5 ( x 3 - 1 )   d x = 15 1,25

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a)∫ 3 d x
p)∫ ( e 2 x + e - x ) d x
t)∫ x 5 + x + 1 x 2 d x
i)∫ 1 x + 1 x 2 d x
q)∫ 1 x + 1 e x d x