Ache o valor exato da quantidade dada.

cos(arcsen(2/3) + 2 \* arcsen(-1/3))

Passo 1

A questão pede para calcularmos o valor das expressões. O primeiro passo é lembrar da fórmula do cosseno da soma:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n   a   s e n   b ,

onde

a = a r c s e n 2 3           e             b = 2   a r c s e n   - 1 3

Note que s e n   a = 2 3 . Assim, temos que

4 9 + cos 2 ⁡ a = 1 ⇒ cos ⁡ a = 5 3

Passo 2

Por outro lado, temos que

s e n b 2 = - 1 3

Assim, vamos ter que

1 9 + cos 2 ⁡ b 2 = 1 ⇒ cos 2 ⁡ b 2 = 8 9

Note que como s e n   b / 2 é negativo, pela imagem do arco seno, temos que b / 2 está no quarto quadrante. Assim, cos ⁡ b / 2 será positivo:

cos ⁡ b 2 = 2 2 3

Desta forma,

s e n   b = 2   s e n b 2 cos ⁡ b 2 = 2 ⋅ - 1 3 ⋅ 2 2 3 = - 4 2 9

Além disso,

cos ⁡ b = cos 2 ⁡ b 2 - s e n 2 b 2 = 8 9 - 1 9 = 7 9

Passo 3

Desta forma,

cos ⁡ a r c s e n 2 3 + 2   a r c s e n - 1 3 = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n   a   s e n   b

Substituindo o que encontramos:

cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n   a   s e n   b = 5 3 ⋅ 7 9 - 2 3 ⋅ - 4 2 9

Portanto,

cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n   a   s e n   b = 7 5 - 8 2 27

Resposta

7 5 - 8 2 27

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