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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.1 - Ex. 35

Ache o valor exato da quantidade dada.

cos (a r c s e n (2)/(3) + 2 a r c s e n (- (1)/(3)))

Passo 1

A questão pede para calcularmos o valor das expressões. O primeiro passo é lembrar da fórmula do cosseno da soma:

cos (a + b) = cos a cos b - s e n a s e n b ,

onde

a = a r c s e n (2)/(3) e b = 2 a r c s e n (- (1)/(3))

Note que s e n a = (2)/(3) . Assim, temos que

(4)/(9) + cos^2 a = 1 => cos a = (sqrt(5))/(3)

Passo 2

Por outro lado, temos que

s e n (b)/(2) = - (1)/(3)

Assim, vamos ter que

(1)/(9) + cos^2 (b)/(2) = 1 => cos^2 (b)/(2) = (8)/(9)

Note que como s e n b // 2 é negativo, pela imagem do arco seno, temos que b // 2 está no quarto quadrante. Assim, cos b // 2 será positivo:

cos (b)/(2) = (2 sqrt(2))/(3)

Desta forma,

s e n b = 2 s e n (b)/(2) cos (b)/(2) = 2 * (- (1)/(3)) * (2 sqrt(2))/(3) = - (4 sqrt(2))/(9)

Além disso,

cos b = cos^2 (b)/(2) - s e n^2 (b)/(2) = (8)/(9) - (1)/(9) = (7)/(9)

Passo 3

Desta forma,

cos (a r c s e n (2)/(3) + 2 a r c s e n (- (1)/(3))) = cos a cos b - s e n a s e n b

Substituindo o que encontramos:

cos a cos b - s e n a s e n b = (sqrt(5))/(3) * (7)/(9) - (2)/(3) * (- (4 sqrt(2))/(9))

Portanto,

cos a cos b - s e n a s e n b = (7 sqrt(5) - 8 sqrt(2))/(27)

Resposta

(7 sqrt(5) - 8 sqrt(2))/(27)

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