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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 92

Calcule a integral definida.

int_0^3 (1)/((r + 2) sqrt(r + 1)) d r

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = int_0^3 (1)/((r + 2) sqrt(r + 1)) d r

Vamos fazer a substituição t = sqrt(r + 1) . Assim,

t^2 = r + 1 => r + 2 = t^2 + 1

Além disso,

d r = 2 t d t

Assim, mudando os limites de integração, nós teremos:

I = int_1^2 (1)/((t^2 + 1) t) * 2 t d t = 2 int_1^2 (1)/(1 + t^2) d t

Passo 2

Note que a primitiva é fácil de calcular e vai dar arco tangente:

I = 2 (arctan t)_1^2

Assim,

I = 2 arctan 2 - 2 arctan 1 = 2 arctan 2 - 2 * (pi)/(4)

Portanto,

I = 2 arctan 2 - (pi)/(2)

Resposta

2 arctan 2 - (pi)/(2)

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