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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.1 - Ex. 17

Ache o valor exato da quantidade dada:

  1. cos^(- 1) (cos (pi)/(3))
  2. cos^(- 1) (cos (- (pi)/(3)))
  3. cos^(- 1) (cos (2 pi)/(3))
  4. cos^(- 1) (cos (4 pi)/(3))

Passo 1

  1. cos^(- 1) underset((1)/(2))(ubrace (cos (pi)/(3)))

    2. Devemos lembrar aqui que 0 <= cos^(- 1) x <= pi , ou seja, todos os resultados devem ser ângulos do primeiro ou segundo quadrante.

    Neste caso, temos cos^(- 1) (1)/(2) = (pi)/(3) . Então,

    cos^(- 1) (cos (pi)/(3)) = (pi)/(3)

    Passo 2

  2. cos^(- 1) underset((1)/(2))(ubrace (cos (- (pi)/(3))))

    3. Neste caso, temos cos^(- 1) ((1)/(2)) = (pi)/(3) . Ou seja,

    cos^(- 1) (cos (- (pi)/(3))) = (pi)/(3)

    Passo 3

  3. cos^(- 1) (cos (2 pi)/(3))

    4. Vamos converter radianos para graus usando a fórmula alpha = (180 ° * theta)/(pi) em que theta é o ângulo em radianos. Dessa forma fica mais fácil conhecer os valores. Seja então:

    alpha = (180 ° * (2 pi)/(3))/(pi) = 120 °

    Portanto, cos^(- 1) (cos (2 pi)/(3)) = cos^(- 1) ( cos 120 ° ) = cos^(- 1) underset(- cos 60 °)(ubrace (- cos ( 180 ° - 120 ° ))) = cos^(- 1) (- (sqrt(3))/(2)) = (2 pi)/(3)

    Passo 4

  4. cos^(- 1) (cos (4 pi)/(3))

Vamos converter radianos para graus usando a fórmula do item c). Seja então:

alpha = (180 ° * (4 pi)/(3))/(pi) = 240 °

Portanto, cos^(- 1) (cos (4 pi)/(3)) = cos^(- 1) ( cos 240 ° ) = cos^(- 1) underset(cos 120 °)(ubrace (cos ( 360 ° - 240 ° ))) = cos^(- 1) (- (sqrt(3))/(2)) = pi - (pi)/(3) = (2 pi)/(3)

Resposta

  1. (pi)/(3)
  2. (pi)/(3)
  3. (2 pi)/(3)
  4. (2 pi)/(3)
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Determine se a função composta f ∘ g é par ou ímpar em cada um dos seguintes casos: f é par e g é ímpar.
Determine se a função composta f ∘ g é par ou ímpar em cada um dos seguintes casos: f é ímpar e g é par.
Determine se a função composta f ∘ g é par ou ímpar em cada um dos seguintes casos: f e g são ambas ímpares.
Se f e g forem duas funções tal que f ∘ g x = x e g ∘ f x , então f e g serão funções inversas. Mostre que f e g são funções inversas f x = x 2 ,x ≥ 0 g x = x
Se f e g forem duas funções tal que f ∘ g x = x e g ∘ f x , então f e g serão funções inversas. Mostre que f e g são funções inversas f x = 2 x - 3 g x = x + 3 2