Calcule a integral indefinida:

∫ 1 3 d x x 4 3 + x 2

Passo 1

Pessoal, podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok? A primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver a integral indefinida é saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos x 2 + 3 = x 2 + 3 2 no denominador, isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 3 tan ⁡ θ .

Passo 2

Façamos então a substituição:

x = 3 tan ⁡ θ d x = 3 sec 2 ⁡ θ d θ

Dessa forma, x 2 = 3 tan 2 ⁡ θ     →     x 2 + 3 = 3 tan 2 ⁡ θ + 3 = 3 tan 2 ⁡ θ + 1 ⏞ sec 2 ⁡ θ = 3 sec 2 ⁡ θ .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável da integral utilizando:

∫ d x x 4 3 + x 2 = ∫ 3 sec 2 ⁡ θ d θ ( 3 tan ⁡ θ ) 4 3 sec 2 ⁡ θ

Considerando os intervalos adequados, podemos tirar o   sec 2 ⁡ θ da raiz sem o módulo.

∫ 3 sec 2 ⁡ θ d θ ( 3 tan ⁡ θ ) 4 3 2 sec 2 ⁡ θ = 3 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ 3 4 tan 4 ⁡ θ ⋅ 3 sec ⁡ θ = 3 3 5 ∫ sec ⁡ θ d θ tan 4 ⁡ θ

= 1 3 4 ∫ 1 cos ⁡ θ sen 4 ⁡ θ cos 4 ⁡ θ d θ = 1 9 ∫ cos 3 ⁡ θ sen 4 ⁡ θ d θ = 1 9 ∫ 1 - sen 2 ⁡ θ ⏞ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ sen 4 ⁡ θ d θ

Agora faremos uma substituição u = sen ⁡ θ       →         d u = cos ⁡ θ d θ . Ficamos então com:

1 9 ∫ 1 - sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ sen 4 ⁡ θ d θ = 1 9 ∫ 1 - u 2 u 4 d u = 1 9 ∫ 1 u 4 - u 2 u 4 d u

= 1 9 ∫ ( u - 4 - u - 2 ) d u

Passo 4

Podemos resolver essa integral utilizando ∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C         n ≠ - 1 .

1 9 ∫ ( u - 4 - u - 2 ) d u = 1 9 u - 4 + 1 - 4 + 1 - u - 2 + 1 - 2 + 1 + C = 1 9 u - 3 - 3 - u - 1 - 1 + C

= 1 9 - 1 3 u 3 + 1 u + C

Passo 5

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x = 3 tan ⁡ θ e sen ⁡ θ = u , então:

∫ d x x 4 3 + x 2 = 1 9 - 1 3 ( sen ⁡ θ ) 3 + 1 ( sen ⁡ θ ) + C

Para achar sen ⁡ θ , nós olhamos o triângulo da substituição tangente construído no inicio e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

sen ⁡ θ = x x 2 + a 2 = x x 2 + 3  

Dessa forma, o resultado da integral será:

∫ d x x 4 16 + x 2 = 1 9 - 1 3 x x 2 + 3 3 + 1 x x 2 + 3 + C

= 1 9 - x 2 + 3 3 3 x 3 + x 2 + 3 x + C

= 1 9 - ( x 2 + 3 ) x 2 + 3 3 x 3 + 3 x 2 x 2 + 3 3 x 3 + C

= 1 9 - x 2 + 3 x 2 + 3 + 3 x 2 x 2 + 3 3 x 3 + C

= 1 27 3 x 2 - x 2 - 3 x 2 + 3 x 3 + C

= 1 27 2 x 2 - 3 x 2 + 3 x 3 + C

∫ d x x 4 3 + x 2 = 2 x 2 - 3 x 2 + 3 27 x 3 + C

Passo 6

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ 1 3 d x x 4 3 + x 2 = 2 x 2 - 3 x 2 + 3 27 x 3 1 3 = 2 ⋅ 3 2 - 3 3 2 + 3 27 ⋅ 3 3 - 2 - 3 1 + 3 27

= 18 - 3 3 2 + 3 27 ⋅ 27 - - 2 27 = 15 12 27 ⋅ 27 - - 2 ⋅ 27 27 ⋅ 27 = 15 ⋅ 2 3 + 54 729 = 30 3 + 54 729

∫ 1 3 d x x 4 3 + x 2 = 10 3 + 18 243 = 2 5 3 + 9 243

E esse é o nosso resultado.

Resposta

∫ 1 3 d x x 4 3 + x 2 = 2 5 3 + 9 243

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