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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 30

Calcule a integral indefinida:

int_1^3 (d x)/(x^4 sqrt(3 + x^2))

Passo 1

Pessoal, podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok? A primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver a integral indefinida é saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos x^2 + 3 = x^2 + sqrt(3)^2 no denominador, isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = sqrt(3) tan theta .

Passo 2

Façamos então a substituição:

[[x,=,sqrt(3),tan theta],[d,x,=,sqrt(3),sec^2 theta,d,theta]]

Dessa forma, x^2 = 3 tan^2 theta -> x^2 + 3 = 3 tan^2 theta + 3 = 3 overset(sec^2 theta)(obrace (tan^2 theta + 1)) = 3 sec^2 theta .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável da integral utilizando:

int (d x)/(x^4 sqrt(3 + x^2)) = int (sqrt(3) sec^2 theta d theta)/(( sqrt(3) tan theta )^4 sqrt(3 sec^2 theta))

Considerando os intervalos adequados, podemos tirar o sec^2 theta da raiz sem o módulo.

int (sqrt(3) sec^2 theta d theta)/(( sqrt(3) tan theta )^4 sqrt((sqrt(3))^2 sec^2 theta)) = sqrt(3) int (sec^2 theta d theta)/(sqrt(3)^4 tan^4 theta * sqrt(3) sec theta) = (sqrt(3))/(sqrt(3)^5) int (sec theta d theta)/(tan^4 theta)

= (1)/((sqrt(3))^4) int ((1)/(cos theta))/((sen^4 theta)/(cos^4 theta)) d theta = (1)/(9) int (cos^3 theta)/(sen^4 theta) d theta = (1)/(9) int (overset(cos^2 theta)(obrace (1 - sen^2 theta)) cos theta)/(sen^4 theta) d theta

Agora faremos uma substituição u = sen theta -> d u = cos theta d theta . Ficamos então com:

(1)/(9) int ((1 - sen^2 theta) cos theta)/(sen^4 theta) d theta = (1)/(9) int ((1 - u^2))/(u^4) d u = (1)/(9) int ((1)/(u^4) - (u^2)/(u^4)) d u

= (1)/(9) int ( u^(- 4) - u^(- 2) ) d u

Passo 4

Podemos resolver essa integral utilizando int u^n d u = (u^(n + 1))/(n + 1) + C n != - 1 .

(1)/(9) int ( u^(- 4) - u^(- 2) ) d u = (1)/(9) ((u^(- 4 + 1))/(- 4 + 1) - (u^(- 2 + 1))/(- 2 + 1)) + C = (1)/(9) ((u^(- 3))/(- 3) - (u^(- 1))/(- 1)) + C

= (1)/(9) (- (1)/(3 u^3) + (1)/(u)) + C

Passo 5

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x = sqrt(3) tan theta e sen theta = u , então:

int (d x)/(x^4 sqrt(3 + x^2)) = (1)/(9) (- (1)/(3 ( sen theta )^3) + (1)/(( sen theta ))) + C

Para achar sen theta , nós olhamos o triângulo da substituição tangente construído no inicio e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

sen theta = (x)/(sqrt(x^2 + a^2)) = (x)/(sqrt(x^2 + 3))

Dessa forma, o resultado da integral será:

int (d x)/(x^4 sqrt(16 + x^2)) = (1)/(9) (- (1)/(3 ((x)/(sqrt(x^2 + 3)))^3) + (1)/(((x)/(sqrt(x^2 + 3))))) + C

= (1)/(9) (- ((sqrt(x^2 + 3))^3)/(3 x^3) + (sqrt(x^2 + 3))/(x)) + C

= (1)/(9) (- (( x^2 + 3 ) sqrt(x^2 + 3))/(3 x^3) + (3 x^2 sqrt(x^2 + 3))/(3 x^3)) + C

= (1)/(9) ((- (x^2 + 3) sqrt(x^2 + 3) + 3 x^2 sqrt(x^2 + 3))/(3 x^3)) + C

= (1)/(27) (((3 x^2 - x^2 - 3) sqrt(x^2 + 3))/(x^3)) + C

= (1)/(27) (((2 x^2 - 3) sqrt(x^2 + 3))/(x^3)) + C

int (d x)/(x^4 sqrt(3 + x^2)) = ((2 x^2 - 3) sqrt(x^2 + 3))/(27 x^3) + C

Passo 6

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

int_1^3 (d x)/(x^4 sqrt(3 + x^2)) = (((2 x^2 - 3) sqrt(x^2 + 3))/(27 x^3)|_1^3 = ((2 * 3^2 - 3) sqrt(3^2 + 3))/(27 * 3^3) - ((2 - 3) sqrt(1 + 3))/(27)

= ((18 - 3) sqrt(3^2 + 3))/(27 * 27) - (- 2)/(27) = (15 sqrt(12))/(27 * 27) - (- 2 * 27)/(27 * 27) = (15 * 2 sqrt(3) + 54)/(729) = (30 sqrt(3) + 54)/(729)

int_1^3 (d x)/(x^4 sqrt(3 + x^2)) = (10 sqrt(3) + 18)/(243) = (2 (5 sqrt(3) + 9))/(243)

E esse é o nosso resultado.

Resposta

int_1^3 (d x)/(x^4 sqrt(3 + x^2)) = (2 (5 sqrt(3) + 9))/(243)

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